[理知논술]논술에 강한 수학

목적지가 같은 방향인 한 승객과 택시에 합승했다. 이 경우 요금은 어떻게 분배하는 것이 공평할까? 예를 들어 살펴보기로 하자. A, B, C 세 사람이 있다. 세 명이 각자의 목적지까지 혼자 택시를 타고 갔을 경우 요금은 각각 3200원, 2800원, 3900원이 나왔을 것이다. A, B가 합승할 경우에는 4500원, B, C가 합승할 경우에는 5200원, A, C가 합승할 경우에는 5400원, 세 명이 모두 합승할 경우에는 7300원의 요금이 나올 것으로 예상된다.

우선 문제를 단순화하여 A, B 두 명의 경우부터 생각해보자. A, B가 각각 타고 갈 경우에는 6000원이 소요되지만 합승을 하면 요금이 줄어든다. 정확히는 6000원-4500원=1500원이 이익인 셈이다. 이 이익금을 배분하는 방법에는 여러 가지가 있겠지만, 크게 두 가지로 나눠볼 수 있다.

실제로 이 같은 논술·구술면접 문제가 나온다면 두 가지 방법을 다 서술하는 것이 좋다. 하지만 오늘은 (방법 1)만 가지고 생각해보도록 하자(이 방법을 ‘샤플리 값’이라고 하며 논리적인 확장이 용이하다).

자 이제 다시 본래의 문제, 즉 세 명의 합승 문제로 돌아가 보자. 아래의 해설을 보기 전에 먼저 이익금을 어떻게 분배해야 할지 생각해보길 바란다.

문제 해결의 기본적인 토대는 ‘이익금은 참여한 사람이 똑같이 나눠 갖는다’이다. 그러나 여기서 문제가 발생한다. A, B가 합승하기로 한 후에 C가 합승을 하는 경우와 A, C가 합승을 하기로 한 후에 B가 합승을 하는 경우에 각각 이익 배분에 문제가 발생한다는 것이다. 두 가지 경우의 이익 발생과 그 분배 방법을 나타내면 다음 표와 같다.

협력하는 순서에 따라 각자의 이익 배분이 달라지는 것은 문제가 있다. 순서와 상관없이 협력 게임의 이익 배분은 동일해야 할 것이다. 따라서 우리는 새로운 생각을 해야 하는데, 이때 유용한 것이 놀랍게도 벤-다이어그램이다.

아까의 표를 생각하면 우리는 d+g=1600임을 쉽게 알 수 있다. 한편, e+g=900, f+g=1800이다.

세 명이 합승할 경우의 요금은 Α+Β+С-Α∩Β-Β∩С-С∩Α+Α∩Β∩С임을 통해 벤-다이어그램을 채워나가면 다음과 같이 g를 구할 수 있다.

마지막으로 세 명이 각각 분담할 요금을 구해보자. d에 해당하는 -600은 A와 B가 협력하였을 때 얻어지는 것이므로 각각 -300원씩 할당된다. g에 해당하는 2100원은 세 명이 협력한 결과이므로 각각 700원씩 할당하면 되는 것이다. 이를 통해 세 명이 합승할 때의 분배금은 A: 2300원, B: 2000원, C: 3000원이 되고, 이를 통해 각자의 이익금을 알아낼 수 있다.

안성환 ㈜엘림에듀 집필위원