[理知논술/교과서로 논술 잡기]수리영역

입력 2007년 2월 27일 03시 03분

《‘교과서에 나오는 심화학습 문제에 통합교과형 논술 대비책이 숨어 있다.’ 서울대 등 주요 대학과 논술 전문가들의 한결같은 주장이다. 교과서를 통해 논술의 기초를 충분히 다질 수 있다는 것이다. 고교 교과서의 핵심 내용을 논술 준비 강의로 진행하는 새 연재를 시작한다. 한 주는 사회와 과학, 한 주는 언어와 수리를 싣는다.》

□ 주제: 수와 식(2)

다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가) 정수의 집합은 2로 나누었을 때, 나머지가 0인 수와 1인 수로 분류할 수 있다. 즉, 정수의 집합 Z=『…, -2, -1, 0, 1, 2, …』 은 O=『…, -3, -1, 1, 3, …』와 E=『…, -4, -2, 0, 2, 4, …』로 분할하여 생각할 수 있다. 이때, 임의의 정수는 반드시 이들 두 집합 O또는 E 중 하나의 집합에만 원소로 존재하게 될 것이다. 이와 같이 정수를 어떤 정수로 나누었을 때, 나머지가 같은 수들끼리 모아 놓은 집합을 잉여류라고 한다.

(나) 한 종류의 수의 집합을 몇 개의 집합으로 하나도 중복되지 않고 빠짐없이 나눌 수 있는 잉여류는 수가 가지고 있는 질서와 규칙성을 탐구하는 좋은 수학적 개념의 하나이다. 예를 들어 다음의 문제를 생각해보자. 정수를 5로 나눌 때, 나머지가 k인 정수의 집합을 Nk라 하고 a∈N₁, b∈N₂, c∈N₃ 라 하자. 그러면 N₁의 한 원소와 N₂의 한 원소의 합은 N₁이 정수를 5로 나눌 때 나머지가 1인 수들의 집합이고 N₂가 정수를 5로 나눌 때 나머지가 2인 수들의 집합이므로 N₃의 원소가 됨을 알 수 있다. 즉, a+b∈N₃이다.

이제 bc는 어떤 집합의 원소가 되는지 알아보자.

N₂는 정수를 5로 나눌 때 나머지가 2인 수들의 집합이고, N₃는 정수를 5로 나눌 때 나머지가 3인 수들의 집합이므로 N₂와 N₃의 원소의 곱은 N₁의 원소가 됨을 알 수 있다. 즉, bc∈N₁이다.

(다) bc∈N₁이 되는 것은 조금만 관심을 가지면 주변에서 쉽게 찾을 수 있다. 대표적인 것이 바로 달력을 만들어내는 원리이다. 앞서 N₁과 N₂의 규칙성을 알고 둘의 조합에 대한 규칙성을 확인했듯이 달력을 만들기 위해서는 기본적으로 알아야 할 규칙성들이 있으며 그 규칙은 다음과 같다.

Ⅰ. 1년은 365일(윤년일 경우 366일)

Ⅱ. 윤년은 4의 배수가 되는 해로 윤년의 2월은 29일까지 있다. 그러나 4의 배수가 되는 해이더라도 100의 배수가 되는 해는 윤년이 아니고 400의 배수가 되는 해는 윤년이다. 예를 들어 1900년은 4의 배수지만 100의 배수이기 때문에 윤년은 아니고, 2000년은 4의 배수이고 100의 배수지만 400의 배수이기 때문에 윤년이다.

이제 위의 사실에 요일이 같다는 것은 7로 나눈 나머지가 같은 잉여류의 집합임을 이용하여 (나)에서와 같이 연산을 통하여 오늘날 우리가 사용하고 있는 달력이 만들어지는 것이다.

□ 논제

비고	날짜수	매월 1일의 요일
1 월	31일	월요일(기준일)
2 월	28일	목요일
3 월	31일	목요일
4 월	30일	일요일
5 월	31일	화요일
6 월	30일	금요일
7 월	31일	일요일
8 월	31일	수요일
9 월	30일	토요일
10 월	31일	월요일
11 월	30일	목요일
12 월	31일	토요일

<논제1>

왼쪽 표는 1월 1일이 월요일인 어느 해의 달력에서 매월 1일의 요일을 기록해 놓은 것이다. 같은 요일이 의미하는 바를 서술해 보아라.

<논제2>

정수를 5로 나눌 때, 나머지가 k인 정수의 집합을 Nk라 하고, a∈N₁, b∈N₂, c∈N₃라 하면 N₁의 한 원소와 N₂의 한 원소의 합은 N₁이 정수를 5로 나눌 때, 나머지가 1인 수들의 집합이고 N₂가 정수를 5로 나눌 때, 나머지가 1인 수들의 집합이고 N₂가 정수를 5로 나눌 때, 나머지가 2인 수들의 집합이므로 N₃의 원소가 됨을 알 수 있다. 즉, a+b∈N₃의 관계가 성립한다. 이를 이용하여 bc가 어떤 집합의 원소가 되는지에 대하여 설명해 보아라.

<논제3>

올해 2007년과 완벽하게 날짜와 요일이 향후 10년 이내에 존재하는가를 확인하고, 존재한다면 해당되는 연도를 모두 구하고 존재하지 못하면 존재할 수 없는 이유를 설명해 보아라.

□ 해설

수학에서는 새로운 용어가 정의되면 자연스럽게 등장하는 것이 그 용어에 대한 성질과 법칙 즉, 사칙연산과 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 등에 관한 사항들을 점검하게 된다. 마찬가지로 여기에서는 잉여라는 새로운 수학적 용어가 갖는 성질과 닫혀 있는 연산법칙들에 대한 확인을 해보도록 하며 더 확장하여 실생활에서 이를 적용해 보는 훈련이라 하겠다.

<기초 학습>

어떤 자연수 n을 자연수 p로 나누었을 때, 나머지를 r라 하면 r는 0≤r≤p-1을 만족하며, 이때 생겨나는 잉여류의 집합 Nr에 대하여 임의의 두 원소를 선택하여 더하거나 곱해도 그 결과는 반드시 집합 Nr의 원소가 된다.

<예시 답안>

<논제1>

달력에서 요일은 7일 단위로 같은 형태가 반복되는 주기함수라고 볼 수 있다. 또한 이는 다른 각도로 볼 때, 7로 나누어 나머지가 같은 날들끼리 모아 놓은 잉여류의 집합이라고도 볼 수 있다.

따라서 같은 1월 안에서 요일이 같다는 것은 7로 나눈 나머지가 같다는 것을 의미하며, 다른 달에서는 1월 1일로부터 경과한 날이 7로 나누어 떨어지는 것을 의미한다.

<논제2>

N₂는 정수를 5로 나눌 때 나머지가 2인 수들의 집합이고 N₃는 정수를 5로 나눌 때 나머지가 3인 수들의 집합이므로 N₂와 N₃의 원소의 곱은 임의의 정수 a, b, c에 대하여

(5a+2)(5b+3)=25ab+15a+10b+6

=5(5ab+3a+2b+1)+1

=5c+1 와 같이 되어 bc∈N₁이 됨을 알 수 있다.

<논제3>