[理知논술/대입 통합교과 논술]수리논술<2>행렬의 활용

행렬 이용해 현재 시장점유율 도출과정을 설명하시오

다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가) 행렬은 연립일차방정식에서 비롯되었으며 그 출발은 무려 2000년 전 이상으로 거슬러 올라갈 수 있다. 기원전 300년경에 만들어진 바빌로니아 사람들의 점토판에는 다음과 같은 문제가 기록되어 있다.

“전체의 넓이가 1,800제곱야드인 두 개의 들판 A, B가 있다. A에서는 1제곱야드당 3분의 2통의 비율로 곡물이 수확되고 B에서는 2분의 1통의 비율로 곡물이 생산된다. 두 들판에서 수확한 전체 곡물량이 1100통이라면 각 들판의 크기는 얼마인가?”

위의 문제는 문장으로 표현되어 있지만 다음과 같은 연립방정식으로 나타낼 수 있다.

행렬은 직사각형 모양으로 수를 배열하고 괄호로 묶은 것으로, 수학 문제를 표현하고 해결하는 유용한 도구이다. 행렬을 이용하면 많은 수의 배열을 하나의 기호로 나타내어 계산을 간편하게 할 수 있기 때문에 행렬은 ‘수학적인 속기술’이라고 불리기도 한다.

행렬을 영어로 matrix라고 하는데 그 어원은 라틴어의 matri로, 본래의 뜻은 ‘어머니’이지만 ‘그 안에서 무엇을 만드는 것’을 나타내는 단어로 사용된다.

행렬은 결과를 만들어 내는 원인이 여러 가지이며, 이들이 동시에 영향을 미칠 때 이러한 관계의 표현에 효과적이다. 또한 사물에 있어서도 2가지 이상의 원인이 복합적으로 영향을 주는 관계를 나타낼 때 사용할 수 있는 유용한 수학적 도구이다. 즉, 두 집합 사이의 관계를 일목요연하게 나타낼 수 있는데, 원소의 개수가 많다 하더라도 각각의 관계를 모두 하나의 행렬에 나타낼 수 있다는 장점을 갖고 있다. 이러한 이유로 행렬은 수학의 중요한 분야의 하나인 선형대수학의 기초가 되며, 공학에서도 여러 가지로 응용되어 전기회로망, 도로망, 생산 공정의 연결선 등을 표현하는 데 사용된다. 고교 과정에서 다루는 버스노선 수, 여행코스 수, 산책로 수 등의 관계를 상호작용 횟수로 정의하는 경우 많은 대상 사이의 관계를 효과적으로 표현할 수 있으며, 이때 행렬과 행렬 사이에서도 합의 법칙과 곱의 법칙을 적용할 수 있다.

(나) 자신의 비밀정보를 보호하는 방법과 상대방의 비밀정보를 가로채 자신에게 유리한 정보를 얻고자 하는 노력은 인류의 역사 이래 매우 중요한 개념으로 인식되어 왔다. 이와 같은 정보의 보호 및 상대방의 비밀정보의 획득에 관한 이론적 발전에 대한 요구는 정보를 보호하려는 노력으로부터 암호작성(cryptography)에 관한 연구의 동기가 된 반면에, 상대의 정보를 가로채려는 노력으로부터 암호해독(cryptanalysis)에 대한 연구의 동기가 되었다. 고대부터 암호사용이 일반화된 현대에 이르기까지 정보의 유출을 막기 위해 정보를 암호화하는 다양한 방법이 소개되고 있다. 그 한 가지 방법으로 다음과 같은 암호화 방법을 생각해 보자. 먼저 한글의 자음과 모음에 아래와 같이 번호를 부여한다.

ㄱ	ㄴ	ㄷ	ㄹ	ㅁ	ㅂ	ㅅ	ㅇ	ㅈ	ㅊ	ㅋ	ㅌ	ㅍ	ㅎ	ㅏ	ㅑ	ㅓ	ㅕ	ㅗ	ㅛ	ㅜ	ㅠ	ㅡ	ㅣ
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9	-10

암호화하려는 단어를 풀어쓰기 한 후 각 자음과 모음을 부여된 숫자로 바꾼다. 만약 숫자의 개수가 짝수이면 그대로 두고 홀수이면 마지막에 0을 첨가하여 개수가 짝수가 되도록 만든다. 이를 순서대로 두 개씩 묶은 1행 2열 행렬들을 다음의 알고리즘을 적용하여 암호화한다.

① 암호화 전의 행렬(1행 2열의 행렬)에 행렬 A를 곱한다.

② ①의 결과로 얻은 행렬에 행렬 B를 더한다.

예를 들어 ‘고려’라는 단어는 (1 -5), (4 -4)로 표현되는데 이 행렬들은 암호화 전의 행렬이고 이 행렬들에 위의 알고리즘을 적용하면 암호화 후의 행렬이 된다.

같은 방법으로 ‘처서’라는 단어는 행렬 (10 -3), (7 -3) 로 표현되는데 주어진 알고리즘을 적용하면 (-7 1), (-4 1)로 암호화 된다.

문제 1 A사와 B사의 두 자동차 회사가 있다고 할 때, A사 차의 소유주들은 고장이 적고, 디자인이 좋다고 생각하므로 그 중 80%가 차를 바꿀 때에 다시 A사의 차를 사고, 나머지 20%는 B사의 차를 산다고 한다. 이와 반대로 B사 차의 소유주들은 가격이 비싸지만 성능이 뛰어나다고 생각하고, 다시 차를 살 때에는 70%가 B사의 차를 산다고 한다.

이와 같은 선호도의 비율로 차를 10년마다 바꾼다고 가정했을 때, A사의 차 소유주가 10년 뒤에 A사의 차로 바꿀 비율은 0.8, A사의 차 소유주가 10년 뒤에 B사의 차로 바꿀 비율은 0.2, B사의 차 소유주가 10년 뒤에 A사의 차로 바꿀 비율은 0.3, B사의 차 소유주가 10년 뒤에 B사의 차로 바꿀 비율은 0.7이므로 이것을 행렬로 나타내면 이다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 행렬 P²의 각 성분이 나타내는 의미를 설명하시오.

(2) 현재의 A, B 두 자동차회사의 시장 점유율을 각각 100x, 100y(%)라 하면 30년 후의 두 회사의 시장 점유율은 55%, 45%가 된다고 한다. 제시문 (가)를 참고로 행렬을 이용하여 x, y를 구하는 과정을 설명하시오(구체적인 계산은 하지 않아도 된다).

문제 2 제시문 (나)에서 제시된 방법으로 어떤 단어를 암호화한(1 3), (1 -9), (10 -6)을 상빈과 창현에게 보냈더니 상빈이는 암호를 해독했다는, 창현이는 해독하지 못하겠다는 회신을 보내왔다.

아래의 조건들이 만족된다는 가정 하에 도대체 무슨 일이 벌어진 것일까 판단하여 설명하시오.

조건1: 상빈과 창현은 모두 주어진 암호화 알고리즘은 알지만 행렬 A와 B가 무엇인지는 누구에게서도 전달받지 않았다.

떠