[理知논술/날아오르는 창의사고력]도로 교통의 수학

《수도권 집중현상을 해결하기 위해 신도시가 생겨나면서 직장과 가정 간의 거리가 멀어지고 통근 길 교통문제는 더욱 심각해졌다. 요즘 도심에 나가면 줄지어 늘어선 자동차들로 한층 혼잡해진 것을 알 수 있다. 사정이 이렇다 보니 모두들 남보다 앞서 가려고 애쓴다. 녹색불이 켜지면 너도 나도 교차로를 지나가고, 앞차가 조금이라도 주춤거리면 신경질적으로 경적을 눌러댄다. 끼어들기, 추월하기는 이제 일상이 되어버렸다. 경제, 문화, 첨단 과학이 발달한 대도시지만, 교통문화만은 아직 덜 발달한 느낌이다.

이제는 교통문화도 바꾸어야 할 시기다. 수학은 교통문화를 바꾸는 데 어떤 역할을 할 수 있을까? 신호등의 녹색불이 켜져 있는 시간과 그때 지나갈 수 있는 차량의 수를 미리 알고 있다면 운전자들도 조금은 느긋하게 차례를 기다릴 수 있을 것이다. 횡단보도에서 보행자 신호 시간과 운전자 신호 시간이 적절하게 배분됐다는 사실만 알고 있어도 보행자나 운전자 모두 조급한 마음을 누그러뜨릴 수 있을지 모른다. 주행, 주차, 교차로 통과, 표지판 읽기 등 교통과 관련된 상황을 접해보고 수학과 함께 복잡한 도심을 빠져나가 보자.

김형진 영재사관학원·수학영재만들기 대표원장》

4m 길이의 차들 5m 간격으로

5m폭 횡단보도 정지선에 줄서서

2초 간격으로 움직일때

신호 바뀐 30초 동안 자동차 몇 대가 지나갈까

문제 1

백화점 앞에서 어머니를 만나기로 한 영재와 영재의 아버지는 백화점 앞 횡단보도에 서있었습니다. 백화점 앞에는 폭이 5m인 횡단보도가 있는데 현재 보행자 신호이므로 4m 길이의 자동차들은 정지한 상태로 서로 5m 간격을 두고 일렬로 늘어서 있습니다. 운전자 신호등이 녹색불로 바뀌고 신호등 맨 앞 정지선에 서 있던 운전자가 녹색불로 바뀐 것을 확인한 후 자동차가 움직일 때까지 2초가 걸리고, 앞 자동차가 움직이고 다음 자동차가 움직일 때까지 항상 2초가 걸립니다. 정지 상태에서 움직이기 시작한 자동차는 신호등을 지날 때까지 평균 초속 3m로 움직입니다. 운전자 통행 신호가 30초 동안 주어진다면 이번 한 번의 신호로 신호등을 통과할 수 있는 자동차는 최대 몇 대입니까?

【선생님의 도움】

① 계획하기

χ번째 자동차가 움직일 때까지 걸리는 시간과, 신호등을 통과할 때까지 운전하는 거리를 구합니다.

② 실행하기

앞에서 χ번째 자동차가 신호등을 통과하려면 움직일 때까지 걸리는 시간은 2χ초이고

신호등을 통과할 때까지 움직여야 하는 거리는 (5+4)χ=9χ(m)이므로 걸리는 시간은

9χ÷3=3χ(초)입니다.

2χ+3χ≤30, 5χ≤30 ∴ χ≤6

따라서 최대 6대가 통과할 수 있습니다.

③ 반성하기

6번째 차가 통과하는 데 걸리는 시간이 30초인지 확인해 봅니다.

문제 2

영재의 어머니는 백화점에 가기 위해 톨게이트를 지나야 합니다. 이 톨게이트는 하이패스 2곳, 통행권을 계산하는 곳이 5곳 있습니다. 이 톨게이트는 오전에는 한산하다가 정오가 지나서부터 오후 1시까지는 매분 60대의 자동차가 톨게이트를 통과하기 위해 진입하는데, 하이패스를 이용하는 자동차는 30%에 불과하기 때문에 통행권을 계산해야 하는 많은 차들은 줄을 서서 기다려야 합니다. 통행권을 계산하는 곳에서는 매분 5대의 자동차가 통과하고 하이패스는 매분 10대의 자동차가 통과할 수 있습니다. 하이패스 단말기를 장착하지 않아 통행권을 계산해야 하는 영재의 어머니는 12시 15분 정각에 톨게이트에 도착했습니다. 5개의 입구 중 한 곳의 줄만 한 대의 차이로 줄이 짧았기에 어머니는 그 줄을 선택하였습니다. 어머니가 톨게이트를 빠져나갈 때까지 걸리는 시간을 구하시오. (단, 영재의 어머니는 14분과 15분 사이의 60대 중 마지막 차량입니다.)

문제 3

백화점에 거의 다 오게 된 영재의 어머니는 다음과 같은 도로를 운전하여 백화점에 가려고 합니다. 교통안전 표지판에 대한 설명이 다음과 같고, 빨간 자동차를 타고 있을 때, 백화점에 갈 수 있는 방법을 10가지 이상 말하시오. (단, 한 번 지나간 길은 다시 지나지 않습니다.)

문제 4

어머니와 만난 영재와 영재의 아버지는 백화점에서 물건을 사고 백화점 앞의 횡단보도를 건너려고 합니다. 백화점의 폐점 시간이 가까워지자 조금 전까지만 해도 붐비던 도로가 지금은 신호 한 번에 대기한 모든 차들이 신호등을 건널 수 있을 만큼 한산해졌습니다. 운전자 신호등은 녹색불 30초, 노란불 2초, 빨간불 18초씩 들어오며 이런 주기가 계속 반복됩니다. 운전자 신호등에 빨간불이 들어오면 보행자 신호등은 녹색불이 들어오므로 횡단보도를 건널 수 있습니다. 운전자 신호등에 녹색불이 들어오면 자동차가 주행할 수 있지만 운전자 신호등에 노란불이 들어올 때는 자동차와 보행자가 모두 움직일 수 없습니다. 신호 대기 시에 매초 1대씩의 자동차가 도착하며 자동차 안에는 항상 2명의 사람이 타고 있습니다. 횡단보도를 건너려는 사람은 매초 2명씩 도착하고 있습니다. 신호등의 주기 50초와 노란불이 들어오는 시간을 변함없이 유지하면서 신호등을 통과하는 모든 사람들의 신호 대기 시간의 합이 최소가 되려면 운전자 신호등의 빨간불은 몇 초 동안 들어오도록 해야 합니까? (단, 보행자 신호등이 녹색불이 켜져 있는 동안 횡단보도에 도착한 보행자는 모두 건넌다고 가정합니다.)

b>문제 5

백화점의 주차공간이 부족하여 백화점 옆 공터에 주차를 했던 영재네 가족은 집으로 가기 위해 공터로 돌아갔습니다. 그러나 나중에 들어온 차들이 다음 그림과 같이 주차되어 있어 자동차를 밖으로 꺼낼 수가 없었습니다. 다행히 모든 자동차는 주차브레이크가 풀려있어 앞, 뒤로 밀어서 움직일 수 있었습니다. 영재네 자동차인 빨간 자동차를 출입구 밖으로 내보내는 방법을 설명하시오.

b>문제 6

영재네 가족은 집에 오는 길에는 두 개의 신호등을 지나게 됩니다. 서점 앞 신호등을 지나고 2km 더 가면 과일가게 앞 신호등을 지나게 되는데 그 도로의 규정 속도인 시속 50km를 지키더라도 신호등에 걸려 정지하게 되는 경우가 종종 있어 불편합니다. 영재가 두 개의 신호등을 관찰하였더니 두 신호등은 항상 동시에 같은 신호가 들어옵니다. 동시에 녹색불 30초, 노란불 2초, 빨간불 18초씩 들어오며 이런 주기가 계속 반복됩니다. 영재는 두 신호등의 신호에 얼마 동안의 차이를 둔다면 서점 앞 신호등을 시속 50km로 지나는 모든 자동차가 과일가게 앞 신호등에 걸리지 않고 운전할 수 있다고 생각했습니다. 과일가게 앞 신호등을 최소 몇 초 동안 정지한 후 다시 동작하게 되면 이런 문제가 해결될까요?

정답

2. 10분 12초

3. 풀이 참조

4. 24초

5. 풀이 참조

6. 44초

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