[이만근 교수와 함께 수학의 고향을 찾아서]<5>아르키메데스는 ‘미적분의 아버지’

타원 면적 구하는 법 완성

‘포물선이나 타원 면적 구하기는 소젖 짜기를 닮았다?’

아르키메데스의 수학적 업적 중에 가장 중요한 것은 포물선이나 타원형에 관한 연구다. 특히 ‘무한 소진법(消盡法)’이라고 불리는 면적 구하기는 후세에 큰 영향을 미쳤다. 지금은 타원이나 곡선의 함수식만 구하면 적분법을 이용해 쉽게 면적을 구할 수 있다. 하지만 아르키메데스는 무한히 많은 도형을 그림으로써 면적을 구했다.

포물선의 경우 포물선과 직선으로 둘러싸인 부분에 삼각형과 사다리꼴의 수를 계속 늘려 가면 곡선으로 둘러싸인 면적에 근접하게 된다. 삼각형과 사다리꼴로 나타낼 수 있다면 쉽게 면적을 구할 수 있는 원리를 이용한 것이다. 사다리꼴의 수를 늘려가며 포물선 내의 면적을 구해 나가는 모습이 마치 소의 젖을 짜내는 것과 닮았다 해서 ‘착출법(搾出法)’이라는 이름도 붙었다.

이 같은 방법은 아르키메데스보다 앞서 기원전 4세기에 살았던 수학자로 플라톤의 제자이자 친구였던 에우독소스가 고안하고 아르키메데스가 완성한 것으로 알려져 있다고 이만근 교수는 설명했다.

에우독소스나 아르키메데스 시대에는 무수히 많은 도형을 그려 나간다는 생각은 했지만 ‘극한’이나 ‘무한’이라는 개념은 없었다. 오히려 ‘무한’은 ‘무질서’라고 생각해 기피하기도 했다고 한다.

하지만 아르키메데스가 ‘무수히 많은 도형을 그려 면적을 구한 것’은 18세기 아이작 뉴턴과 라이프니츠 시대에 개발된 적분 개념의 원형이 된다. 아르키메데스를 미적분의 선구자라고 부르는 것은 그 때문이다. 적분이란 무한히 쪼갠 조각을 쌓는 것이다.