[理知논술/날아오르는 창의사고력]곤충 세계의 수학

낮에는 매미가, 밤에는 귀뚜라미가 우는 뜨거운 여름이면 도시 여기저기에서 곤충체험전이 열린다. 시골에서는 직접 곤충을 채집해서 관찰하기도 한다. 곤충에 대한 관심이 이처럼 높은 건 곤충이 때로는 인간에게 해를 주지만, 유기물을 분해하여 토양을 만드는 등 환경에 없어서는 안 될 생물체이기 때문이다.

곤충의 세계에도 수학이 숨어 있다. 매미는 천적인 새, 파충류 등을 피하기 위해 소수 해를 주기로 태어난다. 국내에 사는 대표적인 매미인 유자매미와 참매미는 5년을 주기로 태어나고, 북아메리카산 매미는 13년 또는 17년의 주기로 태어난다. 만일 소수가 아닌 6년을 주기로 태어난다면 2년 또는 3년이 주기인 천적과 6년마다 만나게 되고, 주기가 4년인 천적과는 12년마다 만나게 되므로 살아남기 위해 소수 주기를 택한 것이다.

꿀벌은 동료 꿀벌에게 먹이의 근원지를 알려주기 위해 8자 춤을 추는데 먹이가 있는 위치에 따라 춤을 추는 속도와 방향이 다르다. 꿀벌이 짓는 벌집은 정육각형이 쌓여 있는 모양인데 여러 개의 변이 맞닿아 있어 안정적인 구조를 보인다. 벌집은 들어가는 재료에 비해 넓은 공간을 얻을 수 있어 매우 경제적이기까지 하다.

이같이 곤충의 생김새나 살아가는 방식을 통해 수학을 만나고, 수학을 통해 다시 곤충 세계의 신비로움을 배워보자.

김형진 영재사관학원·수학영재만들기 대표원장

기온 높을수록 더 자주 “맴맴~”

매미가 1초에 세 번 운다면 기온은 몇 도?

▒ 문제 1

매미는 시끄러운 소리를 내는 곤충 중 하나입니다. 이 곤충은 소리로 의사표현을 하는데 짝짓기 때 내는 소리, 누군가에게 붙잡혔거나 불안을 느꼈을 때 내는 소리, 일기 변화 때문에 내는 소리 등이 있습니다. 과거 중국에서는 일기 변화를 알기 위해 매미를 기르기도 했습니다.

매미는 겨울보다는 여름, 밤보다는 한낮에 많이 웁니다. 매미의 울음소리가 온도와 깊은 관계가 있기 때문인데, 기온이 높을수록 소리가 크고 빨라진다고 합니다. 다음은 매미가 1분 동안 우는 횟수를 조사한 것입니다.

어느 여름 한낮에 매미가 1초에 세 번씩 울었다면 그때의 기온은 섭씨(°C) 몇 도였을지 소수 첫째 자리에서 반올림하여 구하시오.(단, (화씨온도)=1.8×(섭씨온도)+32)

【선생님의 도움】

① 계획하기

주어진 표에서 화씨온도가 높아짐에 따라 매미가 우는 횟수가 일정한 비율로 증가하므로 화씨온도와 우는 횟수의 관계는 일차함수입니다.

② 실행하기

관계식을 찾으면 다음과 같습니다.

(우는 횟수)=4×(화씨온도)-160

문제에서 매미는 1초에 3번씩 울게 되므로 1분에 3×60=180(회) 우는 것입니다.

180=4×(화씨온도)-160

∴ (화씨온도)=85(°F)

이때 (화씨온도)=1.8×(섭씨온도)+32이므로

85=1.8×(섭씨온도)+32

∴ (섭씨온도)=29.444…≒29(°C)

따라서 섭씨온도는 29°C입니다.

③ 반성하기

기온이 35°C일 때, 매미가 1분 동안 우는 횟수를 계산해봅니다.

▒ 문제 2

배추벌레는 배추흰나비의 알에서 10일이 지난 후 부화한 유충입니다. 유충은 성장을 위해 탈피 과정을 4, 5회 반복합니다. 탈피과정을 마친 유충은 실을 뽑아내서 그 실로 몸을 묶어 번데기가 됩니다. 번데기 때는 이동수단이나 방어수단이 없기 때문에 땅속, 나뭇가지, 바위틈 등 안전한 곳에 숨어서 고치를 틉니다. 배추벌레는 다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 100cm인 정육각형의 나무토막 틈에 안전한 장소를 발견하고 그곳에서 번데기가 되려고 합니다. 배추벌레가 현재 있는 위치에서 시속 10cm로 이동하여 안전한 장소까지 이동하려면 최소 몇 시간이 걸리겠습니까. (단, 배추벌레는 나무토막을 뚫지 못합니다.)

▒ 문제 3

영국의 한 건축회사는 바닷물을 담수로 바꾸는 데 필요한 결정적인 아이디어를 아프리카 나미브 사막에 사는 딱정벌레로부터 얻었다고 합니다. 이 딱정벌레는 물이 부족한 사막에서 극심한 일교차를 이용해 직접 물을 만들어 먹습니다. 딱정벌레는 땅속에서 생활하다가 해뜨기 전 안개가 끼면 땅 위로 올라옵니다. 이때 딱정벌레의 온도는 바깥 공기보다 차가운 상태이므로 공기 중 포화된 수증기가 응결되어 딱정벌레의 등 위에 물방울이 생깁니다. 딱정벌레는 이렇게 생긴 물방울을 몸을 기울여 받아먹습니다.

지름이 2cm인 반구 모양의 딱정벌레가 땅 위로 올라왔습니다. 현재 공기 중의 수분의 양은 0.03mg/㎤이고, 딱정벌레가 땅 위로 올라오면 9cm 거리 안에 있는 공기를 10도로 냉각시킵니다. 공기가 10도로 냉각되면 공기 중 수분이 포화상태인 0.01mg/㎤가 되고 나머지 수분이 물방울이 되어 딱정벌레의 등 위에 맺히게 됩니다. 딱정벌레로부터 9cm 거리 안에 있는 공기는 완전히 10도가 되며 그 외의 공기에는 영향을 미치지 않는다고 가정할 때, 딱정벌레가 얻은 물은 몇 mg입니까?

▒ 문제 4

꿀벌은 벌통으로 돌아와 동료 꿀벌에게 먹이의 위치를 알려주는 훌륭한 의사소통 방법을 알고 있습니다. 먹이가 있는 곳이 10m 이내이면 둥근 춤을 추고, 100m 이상 떨어져 있으면 8자 춤(꼬리를 흔드는 춤)을 춥니다. 8자 춤은 숫자 8과 비슷하게 가운데 직선 부분을 가진 두 개의 반원 모양으로 이루어져 있으며 직선 부분을 지날 때에는 꼬리를 흔듭니다. 이때 그림과 같이 벌이 수직으로부터 왼쪽으로 60도 각도로 춤을 추면 꽃은 태양을 향하여 왼쪽 60도 방향에 있다는 것입니다. 그리고 먹이가 있는 곳이 멀면 멀수록 꿀벌은 꼬리를 흔들면서 직선 방향을 오래 날게 되므로 같은 시간 동안 회전수는 줄어듭니다. 15초에 회전이 8번 이루어진다면 먹이와 떨어진 거리는 150m, 15초에 회전이 6번이면 거리는 500m, 15초에 회전이 4번뿐이면 거리는 1500m입니다. 꿀벌이 12초 동안 4번의 회전을 한다면 먹이가 있는 곳은 벌통에서 얼마나 떨어진 곳입니까.

(단, 관계식은 (거리)=