[理知논술/고교 교과]수학논술<6>격자무늬 혹은 결손체스판

■격자무늬-체스판에 숨어있는 수학논리 찾아보세요

1. 한 변의 길이가 1인 정사각형 모양의 검은 타일과 흰 타일이 있다.

(가) <그림1>과 같이 검은 타일 3개와 흰 타일 1개를 붙여 한 변의 길이가 2인 정사각형이 되도록 한다.

(나) <그림2>와 같이 <그림1>의 정사각형의 바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 4인 정사각형이 되도록 한다. 이때 <그림1>에 있는 흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의 둘레에는 흰 타일을 붙인다.

(다) <그림3>과 같이 <그림2>의 정사각형 바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 6인 정사각형이 되도록 한다. 이때 <그림2>에 있는 흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의 둘레에는 흰 타일을 붙인다.

[문제1] 그림 1, 2, 3, 4에서 나타난 흰 타일 수와 검은 타일 수 사이의 관계에 대하여 설명하여라.

[문제2] 전체 타일의 수가 n²개일 때, 두 타일의 수 사이의 관계를 생각해 보고 논리적으로 설명하여라.

2. 다음의 질문에 답하시오.

[문제1]<그림1>과 같은 4×4 격자판에서 임의의 위치에 있는 하나의 정사각형을 뺐을 때 나머지 부분을 <그림2>처럼 3개의 정사각형으로 이루어진 도형으로 중복 없이 덮을 수 있는지, 덮을 수 없는지 논리적으로 설명하시오.

[문제2]16×16 격자판에서도 임의의 위치에 있는 하나의 정사각형을 뺀 나머지 부분에 대하여 위 (1)과 같은 작업을 할 수 있는지, 할 수 없는지 논리적으로 설명하시오.

[문제3]일반적으로 2ⁿ×2ⁿ 격자판에서 임의의 위치에 있는 하나의 정사각형을 뺀 나머지 부분에 대하여 위 (1)과 같은 작업을 할 수 있는지, 할 수 없는지 논리적으로 설명하시오.

한석원 선생님