[理知논술/고교 통합교과 논술]수학<8>확률과 게임이론

※ 다음을 읽고 문제에 답하시오.

다음과 같은 규칙으로 진행되는 ‘동전 가져가기’ 게임이 있다.

게임 1

두 개의 접시 A, B 위에 각각 17개, 15개의 동전이 쌓여 있는 경우에는 먼저 가져가는 사람이 접시 A에서 2개의 동전을 가져감으로써 두 접시 위의 동전의 개수를 (15, 15)로 같게 만들 수 있다. 그 다음부터는 상대방이 어느 접시에서 몇 개를 가져가더라도, 다른 접시에서 상대방이 가져간 개수와 같은 수의 동전을 가져가는 방식으로 게임을 진행하기만 하면 결국 먼저 동전을 가져간 사람이 반드시 승리하게 된다.

위의 결과로부터 게임의 규칙이나 상황이 변할지라도 먼저 가져가는 사람이 게임에서 승리할 수 있는 필승 전략을 생각해 볼 수 있다. 즉, 먼저 동전을 가져가는 사람의 최초의 선택에 의해, 상대방이 어떠한 선택을 하더라도 승리할 수 있는 길이 존재할 수 있다는 것이다.

게임 2

세 개의 접시 A, B, C 위에 각각 7개, 4개, 6개의 동전이 쌓여 있는 경우에 대하여 먼저 가져가는 사람의 필승 전략을 다음과 같이 세울 수 있다. 세 접시 위의 동전의 수를 각각 2진법의 수로 나타내면 111(2), 100(2), 110(2)이 되고, 이 세 수의 22자리수의 합은 3, 2의 자리수의 합은 2, 그리고 1의 자리수의 합은 1이다. 이를 표로 나타내면 다음과 같다.

이때 먼저 가져가는 사람은 2진법으로 표시된 세 수의 각 자리수의 합이 짝수가 되도록 어느 한 접시에서 구슬을 가져간 후 상대방이 가져가는 것에 적절한 대응을 하는 방식으로 게임에 임하면 항상 승리할 수 있다.

문제 1

게임 2에서 동전을 먼저 가져갈지 나중에 가져갈지를 선택할 권한이 당신에게 주어졌다고 하자. 또 상대방은 매번 자신의 차례에서 동전의 개수가 가장 많은 접시에서 동전을 가져가는데 그 접시에 남은 동전이 n개라면 개를 가져간다고 한다. 이때 위에서 제시한 필승 전략에 따르면 당신에게는 반드시 승리할 수 있는 길이 존재한다. 당신이 반드시 승리하게 되는 과정을 구체적으로 제시하시오.

(단, [χ]는 χ를 넘지 않는 최대 정수이다.)

문제 2

두 개의 접시 A, B 위에 각각 17개, 15개의 동전이 쌓여 있는 게임 1의 상황에서, 게임의 규칙을 다음과 같이 바꾼다 해도 당신이 먼저 동전을 가져가기 시작한다면 당신에게는 필승 전략이 존재한다.

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