[理知논술/고교 교과 논술]수학논술<5>함수와 모델링

2층집 계단의 스위치를 1, 2층에서 끄고 켜게 하려면

이번 주제는 함수와 모델링이다. 우리 주변에서 흔히 만나는 소재들을 함수로 간단히 표현할 수 있다. 동일한 문제에 대해 다양한 함수 표현이 존재할 수 있으며, 그에 따라 문제 해결 방법이 달라진다. 주변 소재들을 함수를 이용하여 모델링하는 실전적인 연습문제를 출제했다.

문제1

왼쪽 그림과 같은 사다리 제비에서 세로선을 따라 내려가다 가로선을 만나면 가로선을 따라 이웃하는 세로선으로 이동하여 다시 내려간다.

이때, 맨 위에 있는 숫자에서 출발하여 맨 아래 끝나는 지점에 있는 숫자를 대응시키는 함수는 사다리 모양에 관계없이 항상 일대일 대응이 된다.

위의 사다리 제비 모형에 대하여 일대일 대응관계를 그림을 이용하여 보여 주고, 어떠한 사다리 제비 모형에 대해서도 일대일 대응관계가 유지된다는 사실에 대하여 설명해 보아라.

문제2

2층 집의 계단에 있는 전등 스위치는 특별한 기능을 가져야 한다. 1층에도, 2층에도 스위치가 있어야 하며 1층에서 전등을 켜고 2층에 올라가서 그 전등을 끌 수 있어야 한다. 또 2층에서 전등을 켠 다음 1층으로 내려와서 그 전등을 끌 수 있어야 한다. 긴 복도의 전등에서도 마찬가지이다. 복도의 서쪽에서 켜고 동쪽에서 끌 수 있어야 한다. 이와 같이 편리한 스위치를 2접점 스위치라고 한다. 다음 그림의 오른쪽에서와 같이 복도의 서쪽, 동쪽의 스위치를 각각 S1, S2 라고 하고, 스위치를 올렸을 때를 1, 내렸을 때를 0이라 하고, 전류가 흘러 전등 E가 들어올 때를 0, 들어오지 않을 때를 1이라고 하자. 이것을 알기 쉽게 표로 나타내면 위 그림의 왼쪽과 같다.

즉, 서쪽과 동쪽에서 스위치가 모두 올려져 있거나 내려져 있으면 전등은 켜지며, 그 이외에는 전등이 꺼진다.

수학에서는 이것을 다음과 같은 함수로 나타낼 수 있다.

이 함수의 대응관계를 그림을 이용하여 도시하고, 가능하면 S1, S2 를 이용한 수식으로 표현해 보아라.