[理知논술/중학 교과원리]5가지 재료로 만든 샌드위치 부분집합

입력 2006년 3월 14일 03시 05분

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▼수학 - 집합▼

수학은 어떤 대상의 개수를 세거나 크기를 재는 것부터 시작됐기 때문에 ‘집합’은 수학의 기본이라고 할 수 있다.

다음 예시를 보자.

1. 우리 반에서 예쁜 학생으로 구성된 집합을 만드시오.

2. 모든 자연수의 집합과 모든 짝수의 집합 중에서 어느 집합이 더 클까?

위 문제에 답하기 위해서는 먼저 개수를 세려고 하는 대상이 명확한가를 생각해 봐야 한다. 막연히 예쁜 학생이라고 하면 그 대상이 분명하지 않기 때문에 집합을 이룰 수가 없다. 모든 자연수의 집합과 모든 짝수의 집합은 그 개수가 무한하므로 어느 것이 크다고 할 수 없다.

가족 구성원으로 만들어지는 집합과 부분집합

우리 가족 『아빠, 엄마, 나, 동생』이 야외로 나들이를 갔다. 운전하느라 피곤하신 아빠는 도착하자마자 차에서 잠깐 주무신다고 한다.

어쩔 수 없이 엄마, 나, 동생만 나들이를 즐겼는데, 이때 우리 가족 안에 『엄마, 나, 동생』이라는 집합과 『아빠』라는 작은 집합이 생긴다. 이것을 ‘우리 가족의 부분집합’이라고 한다.

아빠가 일어나셔서 『아빠, 동생』, 『엄마, 나』로 편을 짜서 공놀이를 했다. 여기서 또 다른 ‘우리 가족의 부분집합’이 생긴다.

이처럼 부분집합이란 원래의 집합에 들어 있던 원소들로 또 하나의 집합을 만드는 것을 말한다.

그러면 4명으로 구성된 우리 가족의 부분집합은 몇 개나 만들 수 있을까?

―원소가 하나도 없는 공집합(?)

―원소가 한 개인 『아빠』, 『엄마』, 『나』, 『동생』

―원소가 두 개인 『아빠, 엄마』, 『아빠, 나』, 『아빠, 동생』, 『엄마, 나』, 『엄마, 동생』, 『나, 동생』

―원소가 세 개인 『아빠, 엄마, 나』, 『아빠, 엄마, 동생』, 『엄마, 나, 동생』

―원소가 네 개인 『아빠, 엄마, 나, 동생』

이렇게 총 16가지를 생각할 수 있다. 이때, 주의할 점은 공집합과 자기 자신도 부분집합이 된다는 것이다. 원소가 하나도 없는 집합부터 차근차근 부분집합의 개수를 구해 보면 원소의 개수만큼 2를 곱해 주는 규칙을 쉽게 찾아낼 수 있다.

즉, 원소의 개수가 n개인 집합의 부분집합의 개수는 2를 n번 곱한 2×2×2×…×2=2ⁿ 이 된다.

샌드위치에도 부분집합이 존재한다

공부를 하다 간식으로 빵을 먹으려고 한다. 냉장고를 열어보니 『햄, 베이컨, 양상추, 피망, 토마토』가 있다. 빵만 먹을까? 아니면 이 가운데 전부 또는 몇 개를 넣어서 샌드위치를 만들까? 자! 그렇다면 내가 만들어 먹을 수 있는 샌드위치의 종류는 모두 몇 개나 될까?

냉장고 안에 들어 있는 5개의 음식이 집합의 원소가 되면서 ‘빵만 먹을까? 이 중 전부 또는 몇 개만 넣어서’라는 말은 부분집합을 의미한다. 즉, 공집합과 자기 자신도 부분집합이 될 수 있으므로 답은 2×2×2×2×2=25=32가지가 된다.

햄과 베이컨을 아주 좋아하는 영희는 이 두 가지를 꼭 넣어서 샌드위치를 만들려고 한다. 샌드위치에 햄과 베이컨을 꼭 넣고 싶다면 영희가 선택할 수 있는 경우의 수는 몇 가지가 될까?

햄과 베이컨이라는 특정 원소를 반드시 포함하는 경우, 쉽게 문제를 해결하기 위해서는 햄과 베이컨은 항상 포함이 돼 있다고 생각하고 나머지의 원소인 『양상추, 피망, 토마토』로 이뤄진 부분집합의 개수를 구한 뒤 여기에 햄과 베이컨을 넣어 주면 된다.

즉, 『』, 『양상추』, 『피망』, 『토마토』, 『양상추, 피망』, 『양상추, 토마토』, 『피망, 토마토』, 『양상추, 피망, 토마토』에 햄과 베이컨을 추가하면 『햄, 베이컨』, 『햄, 베이컨, 양상추』, 『햄, 베이컨, 피망』, 『햄, 베이컨, 토마토』, 『햄, 베이컨, 양상추, 피망』, 『햄, 베이컨, 양상추, 토마토』, 『햄, 베이컨, 피망, 토마토』, 『햄, 베이컨, 양상추, 피망 토마토』가 되고 이것들은 모두 햄과 베이컨을 포함하는 집합의 부분집합이 되면서 그 개수는 25-²=2³=8가지가 된다.