[Prime TOWN]창의성 개발을 위한 토론수업<3>

<3>초등 4학년 수학 수업의 예
1×2×3×4×…×2007×2008×2009의 답 끝엔 몇 개의 0이 있을까
무조건 곱한다? 0을 실마리로 규칙을 찾자!

문제. 1×2×3×4×…×2007×2008×2009의 답에는 끝에 몇 개의 0이 있을까?

1부터 2009까지 곱한다는 것은 정말로 엄청난 일이다. 이 문제를 해결하기 위해선 나의 계산실력에 무조건 의존하기보다는 숫자들이 이루는 규칙을 찾아보도록 하자. 우선 작은 숫자부터 해보면 좋을 것이다.

숫자의 개수를 줄여 1부터 5까지 곱을 해보도록 하자. 1×2×3×4×5=120. 아하! 그렇다면 이 계산의 끝에는 0이 한 개뿐인데 이 식에서 규칙을 만드는 숫자는 어느 것일까? 우리는 이 곱셈식에서의 2×5를 눈여겨봐야 할 것이다. 5 미만의 수의 곱하기에는 단지 2×5로 인해 0이 한 개 나타날 뿐이다.

그렇다면 이러한 경우를 생각해 보자. 4×25=100. 그럼 이 곱셈식은 어떻게 생각해 볼 수 있을까? 여기서는 두 개의 0이 나타나는 사실을 알 수 있다. 이번에도 4×25=2×2×5×5로 이루어져 있으므로 역시 2×5가 영향을 미친다는 것을 알 수 있을 것이다.

이는 마치 반에서 짝을 정하는 일과 같다. 우리 반에서 남자와 여자의 인원이 같다면 쉽게 짝을 지을 수 있겠지만 그렇지 않다면 어떤 일이 일어날까? 만약 영재네 반에 남녀 짝을 정한다고 하자. 그런데 문제는 남학생이 여학생보다 인원이 더 많다는 점이다. 이러한 경우에는 아무리 남학생의 인원이 많다 하더라도 여학생의 인원에 따라 짝이 결정된다는 것을 쉽게 생각해 볼 수 있다.

지금 우리가 문제를 해결하려는 것도 이 같은 방법이다. 문제를 해결하기 위해 2×5의 개수를 생각해봐야 할 일이지만, 아무리 2의 개수가 5의 개수보다 많다 하더라도 2×5의 개수에 영향을 미치는 쪽은 2가 아니라 5의 개수일 것이다.

이제 문제의 절반은 해결된 셈이다. 우리가 알아봐야 할 것은 무엇일까? 1×2×3×4×…×2007×2008×2009에서 2×5의 곱을 생각해 보면 될 것이다. 여기에서 5의 개수를 살펴보자. 2009까지의 5의 배수는 2009÷5=401…4이므로 한 자리 5의 개수는 401개이다.

그러나 여기서 끝이 아니다. 모든 숫자들이 5를 하나씩만 갖고 있는 건 아니다. 5²=25의 개수가 몇 개인지도 알아보자. 2009÷25=80…9이므로 5의 개수가 80개가 더 있다는 것을 알 수 있다. 다시 5³=125 및 5⁴=625에 있는 5의 개수도 마저 살펴보자. 2009÷125=16…9, 2009÷625=3…134이다. 401+80+16+3=500으로 우리는 이 천문학적 곱하기 숫자의 마지막에 0이 500개라는 것을 곧 알아낼 수 있다.

육혜신 영재사관학원 수학영재만들기 초등팀장