[理知논술]논술에 강한 수학

옳은 정보량 구하기 위해 맨먼저 생각해야 할것은?

정보량이란 것이 있다. 예를 들어 내가 동전을 던진 후의 결과(앞/뒤)를 알고 있다고 하자. 내가 가진 정보량은 ‘1’이다.

왜냐하면 동전 던지기의 결과를 모르는 사람은 나에게 ‘예’ 또는 ‘아니요’의 문답 한 번을 통해 내가 알고 있는 정보를 알아낼 수 있기 때문이다. 즉 ‘앞입니까?’라는 질문에 대해 ‘예’ 또는 ‘아니요’라는 어떤 대답을 통해서든지 내가 가진 정보를 알 수 있다는 뜻이다.

조금 더 복잡한 경우를 생각해보자. 내가 1, 2, 3, 4 중에 한 개의 숫자를 정해놓았다고 하자. 내가 가진 정보량은 얼마인가?

그림을 보면 알 수 있듯이 두 번의 ‘예 또는 아니요’의 문답을 통하면 알아낼 수 있으므로 내가 가진 정보량은 ‘2’다.

여기서 짚고 넘어가야 할 점은 맨 처음의 질문을 잘못할 수도 있다는 것이다. 예를 들어 ‘1입니까?’라고 질문했을 경우, 대답이 ‘예’라면 한 번에 답을 찾아낸 것이지만, ‘아니요’라는 대답이라면 3개 중에 한 개를 찾아야 하는 난관에 봉착한다.

이 경우에는 계산을 통해 정보량이 가 된다. 그러므로 정보량이 2보다 커진다. 즉, 질문이 잘못됐을 경우에는 정보량이 커지는 오류를 범하게 된다.

예를 들어 1, 2 중에서 한 개의 숫자를 알아내야 하는 경우에 ‘1입니까?’ 또는 ‘2입니까?’라는 질문이 아닌 다른 엉뚱한 질문(예를 들면, ‘자연수입니까?’)을 하면 정보를 찾는 데는 아무런 도움이 되지 않고 정보량만 늘리게 될 것이다.

따라서 올바른(가장 최소 횟수로 정보를 찾아낼 수 있는) 질문을 통해 계산된 정보량이 옳은 값일 것이다.

그렇다면 1, 2, 3 중에서 한 개의 숫자를 알고 있다면 나의 정보량은 얼마일까? 정해진 숫자가 ‘1’이라고 가정하자. 처음 질문으로 ‘1입니까?’라고 했다면 대답은 ‘예’일 것이고 한 번에 숫자를 알아낸 셈이다.

그렇다면 정보량은 1인가? 당연히 그렇지 않다. 처음 질문에서 ‘2 이상입니까?’라고 했다면 대답은 ‘아니요’이고 2와 3 중에 한 개의 숫자를 알아내야 하므로 한 번 더 질문을 해야 한다.

즉 정보량은 2처럼 보인다. 따라서 3개의 숫자 중에 한 개의 숫자를 알고 있을 때의 정보량은 1과 2 사이의 값일 것이다.

이 경우에 정확한 정보량은 어떻게 구해야 할까? 우선, 처음 하는 질문을 분석해보자. ‘1입니까?’, ‘2입니까?’, ‘1 또는 3입니까?’ 등 어떤 질문이든지 3개의 숫자를 두 개의 그룹으로 나누게 된다.

또한 그 그룹은 1개/2개인 것이다. 따라서 기댓값을 통해 우리는 정확한 정보량을 계산해 낼 수 있다. 1개 그룹이 선택받았을 경우의 확률은 , 이 경우의 정보량은 1, 2개 그룹이 선택받을 확률은 , 이 경우의 정보량은 2다. 따라서 다음과 같이 계산할 수 있다.

반면, 정보량 계산을 통해 올바른 질문을 찾아낼 수도 하다. 예를 들어 1∼5의 다섯 개 숫자 중에서 한 개의 숫자를 찾아야 하는 경우를 생각해보자. 이때는 다섯 개의 숫자를 2/3으로 나누어야 할지, 1/4로 나누어야 할지가 고민스럽다.

이 때 각각의 경우에 위와 같은 계산을 통하여 정보량을 구하면, 정보량이 작은 쪽이 좋은 선택이 될 것이다.(참고로 답은 이 나온다) 연습 삼아 6개의 경우에도 적용해보길 바란다.

안성환 ㈜엘림에듀 집필위원