[理知논술/교과서로 논술 잡기]수리영역

주제: 확률의 활용 (2)

도중에 끝난 돈내기, 파스칼이 해결한 상금분할 방법은?

※ 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가) 18세기 프랑스 도박사 드 메레(de Mere)는 당시 최고의 수학자인 파스칼에게 도박과 관련된 문제를 의뢰했다. 흔히 ‘점수문제(problem of point)’라고 불리는 이 문제는 확률론이 발전하는 계기를 마련했다. 드 메레는 파스칼에게 다음과 같은 편지를 보냈다.

“실력이 같은 두 사람 A, B가 각각 32피스톨씩의 돈을 걸어 한 번 이기면 1점을 얻는 것으로 하고, 먼저 3점을 얻는 사람이 64피스톨을 모두 갖는 내기를 했다네. 그런데 이 내기에서 A가 2점, B가 1점을 따 놓은 상황에서 한 사람이 건강이 좋지 못하여 더는 시합을 할 수 없게 되었다네. 그러면 이 경우 어떻게 해야 하는가? 시합을 무효로 하자니 A가 억울해하고, A가 2점, B가 1점을 얻었으므로 A가 이긴 것으로 하자니 B가 승복할 수 없다고 하니 어떻게 해야 할지 모르겠네. 도대체 64피스톨을 어떻게 분배하는 것이 좋겠나?”

글 싣는 순서(수리)
1	집합과 논리 (1)
2	집합과 논리 (2)
3	수와 식 (1)
4	수와 식 (2)
5	수와 식 (3)
6	도형과 문제 해결 (1)
7	도형과 문제 해결 (2)
8	함수의 활용 (1)
9	함수의 활용 (2)
10	함수의 활용 (3)
11	지수·로그의 실생활 응용 (1)
12	지수·로그의 실생활 응용 (2)
13	행렬의 실생활 응용 (1)
14	행렬의 실생활 응용 (2)
15	수열과 추론 (1)
16	수열과 추론 (2)
17	수열과 추론 (3)
18	수열의 극한의 활용 (1)
19	수열의 극한의 활용 (2)
20	경우의 수란 무엇인가?
21	확률의 활용 (1)
22	확률의 활용 (2)
23	통계의 허와 실 (1)
24	통계의 허와 실 (2)

(나) 드 메레의 편지를 받은 파스칼은 다음과 같은 내용의 편지를 답장으로 보냈다.

“만약 시합을 중단하지 않고 계속했을 때, 네 번째 시합에서 A가 이긴다면 점수는 A가 3점, B가 1점이므로 A는 64피스톨을 다 가져야 하네. 만약 네 번째 시합에서 B가 이기면 점수는 A가 2점, B가 2점이므로 A와 B는 각각 32피스톨씩을 가지면 되네. 결과적으로 A는 네 번째 시합에서 이기든 지든 상관없이 32피스톨을 가져야 하네. 그 다음 시합에서 이기는 사람이 승자가 되는데 A, B가 서로 이길 확률이 각각 반반이므로 나머지 32피스톨을 똑같이 16피스톨씩 나누어 가지면 된다네. 따라서 A는 32+16=48피스톨, B는 16피스톨을 가지면 문제는 합리적으로 해결될 것이네.”

(다) 파스칼은 자신과 쌍벽을 이루던 수학자 페르마에게 이 문제와 자신의 풀이를 보냈는데 페르마는 다른 방법으로 문제를 해결했다.

“A가 2점, B가 1점을 득점한 경우 앞으로 최대 2번으로 승패가 결정된다. 이때 나타날 수 있는 경우는 모두 네 가지인데 2번 모두 A가 이기는 경우, A가 이기고 그 다음에 B가 이기는 경우, B가 이기고 나서 A가 이기는 경우, 2번 모두 B가 이기는 경우이다. 이 네 가지 경우 중 최종적으로 A가 이기는 경우는 앞의 세 가지이고, B가 이기는 경우는 마지막 한 가지이다. 따라서 A는 64의 3/4인 48피스톨을 갖고, B는 나머지 16피스톨을 가지면 된다.”

(라) 페르마는 이 풀이법을 파스칼에게 보냈고, 파스칼은 이에 착안하여 ‘이항정리’로 이 문제를 다시 풀었다.

“A가 2점, B가 1점을 득점한 경우 승패를 가리기 위해 치러야 하는 게임이 최대 2번이므로 제곱식을 이용할 수 있다. (A+B)²=A²+2AB+B²에서 첫째항 A²과 둘째 항 2AB는 A의 승리가 되며 B²은 B의 승리가 된다. 따라서 A와 B가 승리할 때의 계수는 각각 3과 1이므로 …이 A가 승리할 확률이며, 나머지 이 B가 승리할 확률이다.”

* 이항정리

위 식은 a,b에 대한 항등식이다.

[논제 1] 제시문 (라)에서 이항정리를 이용한 파스칼의 해법에 대하여 창현이는 이해를 못하고 있다. 여러분이 창현에게 파스칼의 풀이과정을 논리적으로 설명해 보시오.

[논제 2] 제시문 (가)의 문제에서 만약 두 사람의 실력차가 있어서 한 번의 시합마다 A, B가 득점할 확률이 각각 2/3, 1/3이고 다른 상황은 변함이 없다면 A, B가 차지해야 할 몫은 얼마인지를 제시문 (나), (다)의 방법으로 각각 설명하시오.

☞ 예시답안은 이지논술 홈페이지(easynonsul.com)에 있습니다.

김기철 청솔 아우름 통합논술 강사