[理知논술/중학 교과원리]수학-과학

▼ 수학 ⑧생활 속의 부등식 ▼

우리는 살아가면서 수많은 선택을 해야 한다. 선택을 할 때는 어느 것이 나에게 더 필요하고, 유리한가를 무엇보다 먼저 생각하게 되는데, 조건을 비교할 때 가장 중요한 역할을 하는 수학의 도구가 바로 부등식이다.

부등식이란 무엇일까?

우리는 교과과정 (8-가)에서 방정식이 끝나고 이어서 부등식을 배우게 된다.

그만큼 부등식이 방정식과 밀접한 관계가 있으며 수를 다루는 부분에서 굉장히 중요한 역할을 하고 있기 때문이다. 일차부등식을 푸는 방법은 딱 한 가지의 경우만을 제외하고는 일차방정식의 풀이 조건과 똑같다.

그 한 가지는 ‘부등식의 양변에 같은 음수를 곱하거나 나누는 경우 부등호 방향이 바뀐다’는 것이다.

실제로 이것을 가장 쉽게 증명해 볼 수 있는 부분이 수직선이다.

예를 들어 ―2 < 3 인 경우를 보면

양변에 똑같은 양수를 곱하거나 나누게 되면 음수도 배로, 양수도 배로 커지기 때문에 서로의 부호에는 영향을 주지 않아 부등호 방향에는 변함이 없지만, 양변에 음수를 곱하는 경우에는 서로의 부호가 반대로 바뀌면서 그 절댓값은 커지게 된다.

즉, 부등호 방향이 바뀌게 되고 2 < 3 이거나 ―3 < ―2인 경우도 음수를 곱하게 되면 부호가 바뀌면서 절댓값도 커지게 되므로 양수는 절댓값이 클수록 큰 수가 되지만 음수는 절댓값이 클수록 작은 수가 되기 때문에 음수를 곱하거나 나누는 경우는 쉽게 부등호 방향이 바뀐다는 것을 알 수 있다.

단지 부등식이라는 부분이 방정식보다 많이 다루어지지 않아 생소하게 느껴져서 어려워 보일 뿐 알고 보면 방정식과 거의 비슷한 부분을 가지고 있음을 알 수 있다.

생활 속의 부등식

생활 속에서 가장 쉽게 부등식을 찾아볼 수 있는 것은 교통표지판이다.

위의 그림은 학교 앞 어린이 보호구역에서 쉽게 볼 수 있는 표지판인데 이것이 의미하는 것은 최고속력이 시속 30km가 되어야 한다는 것이며, 교통법규에 맞는 속력의 범위를 부등호를 사용해 표현하자면 x ¤ 30이 된다.

부등식을 접할 수 있는 또 다른 표지판도 있다. 이 그림은 육교나 터널 또는 주차장 입구에서 이것을 쉽게 볼 수가 있는데 이를 부등식으로 나타내 본다면 통과할 수 있는 높이가 3.5m 미만이므로 x < 3.5로 표시할 수 있다.

몇 가지 부등식의 예를 더 들어 보자

70점 이상 맞아야 재시험을 치르지 않는다 → x≥70

500kg 이하 탑승 가능한 엘리베이터 → x ≤500

15세 이상 시청 가능 또는 15세 미만은 시청할 수 없다 -> x ≥15

사람의 열을 확인할 때 36.5도 이상 되면 열이 난다고 함→ x≥36.5

교과서에 있는 문제를 살펴보자

문제) 장미 꽃다발을 만들려고 하는데 동네 꽃가게에서는 한 송이에 1000원 하는 장미꽃이 꽃시장에 가서 사면 800원에 살 수 있다고 한다. 꽃시장에 가서 사려면 1300원의 교통비가 든다고 할 때, 몇 송이 이상으로 장미 꽃다발을 만들어야 꽃시장에서 사는 것이 유리한지 구하여라. [8-가]

강현정 엠베스트 교육㈜ 수학강사

■ 풀어서 보내요

봉인이는 지하철 6호선을 타고 삼각지에서 월드컵경기장(성산)역까지 가려고 한다. 집에서 역까지 도착하여 열차를 기다리는 데 10분 이상 15분 이하의 시간이 걸리고 지하철의 역 사이의 운행 소요시간은 보통 2분 이상 3분 이하가 걸린다고 할 때 월드컵경기장역까지 도착하는 데 시간이 얼마나 걸리는지 계산해 보자.

글 싣는 순서

⑨ 생활 속의 함수1 ⑩생 활 속의 함수2 ⑪ 생활 속의 통계 ⑫ 생활 속의 기하

▼ 과학 ⑧드라이아이스 이야기 ▼

아이스크림을 좋아하는 학생이라면, 아이스크림을 포장할 때 넣어주는 드라이아이스를 한번쯤은 눈여겨봤을 것이다.

드라이아이스는 말 그대로 드라이한 아이스(dry ice)다.

우리가 알고 있는 아이스, 즉 물로 만든 얼음은 지구의 대기압 아래에서는 ‘얼음(고체)→ 물(액체) → 수증기(기체)’로 상태 변화하지만 드라이아이스는 이산화탄소로 이루어져 있고 ‘드라이아이스(고체) → 이산화탄소(기체)’로 액체 상태를 거치지 않고 바로 상태변화를 한다. 이러한 상태변화를 ‘승화’라고 부른다.

액체 상태 없이 바로 승화되기 때문에 드라이아이스가 아이스크림을 포장하는 데 적합할 뿐만 아니라 승화 온도가 ―78도이기 때문에 일반 얼음에 비해 낮은 온도를 유지시켜준다.

이 드라이아이스와 BTB용액을 이용해 재미있는 실험을 할 수 있다.

BTB용액은 산, 중성, 염기를 알려주는 지시약으로서 각각의 색깔로 상태를 구분할 수 있다.

산성	중성	염기성
노랑	초록	파랑

물(중성)이 담긴 플라스틱 통에 BTB용액을 넣으면 초록색이 되는데, 그 위에 드라이아이스를 넣어 보면 초록색이 노란색으로 변하면서 하얀 구름이 생기는 것을 볼 수 있다.

구름이 생기는 이유는 차가운 드라이아이스 때문에 공기 중 수증기가 급속 냉각돼 작은 물방울이나 또 빙정(작은 얼음 결정)들의 형태로 우리 눈에 보이는 것이다.

실제로 구름이 생기는 원리도 마찬가지다. 수증기가 포함된 공기가 위로 올라가고, 기압이 줄어든 상태에서 부피가 커지게 되는데, 부피가 커지는 바람에 에너지를 쓰게 되면서 온도가 낮아지고 마침내 이슬점(수증기가 물방울로 응결되기 시작하는 온도)에 도달하면 구름이 생기는 것이다.

실험 중 BTB용액의 색상이 노란색으로 변한 것은 드라이아이스의 이산화탄소가 물에 녹으면서 탄산이 되었기 때문이다. 참고로 이산화탄소가 잔뜩 녹아 있는 음료가 바로 탄산음료이다.

또한 BTB용액에 드라이아이스를 넣은 상태로 30분 정도 기다리면 드라이아이스의 낮은 온도 때문에 BTB용액이 딱딱하게 얼고, 플라스틱 통 주변에 하얀 서리가 맺히는 것을 볼 수 있는데 이것이 바로 늦가을 아침에 볼 수 있는 ‘서리’의 원리다.

이제 드라이아이스를 넣고 1시간쯤 더 기다려 보자. 드라이아이스 주변으로 틈이 생긴 것을 볼 수 있는데, 얼음이 얼고 난 후 드라이아이스는 계속 조금씩 승화하기 때문에 크기가 조금씩 줄면서 처음에 물이 얼 때 드라이아이스의 크기만큼 빈공간이 생긴 것이다.

이렇게 드라이아이스에 포함된 이산화탄소가 녹으면서 노란색이 되었던 BTB용액도 하루나 이틀 정도 시간이 지나면 다시 초록색으로 돌아온다. 녹았던 이산화탄소가 온도가 높아지면서 다 빠져나가기 때문이다. 탄산음료의 뚜껑을 열어 놓았을 때 ‘김이 빠진다’는 것과 같은 이치라고 생각하면 된다.

최은정 엠베스트 교육㈜ 과학강사

■ 풀어서 보내요

드라이아이스를 비닐주머니에 넣어두었더니 비닐주머니 표면에 흰색의 고체물질이 하얗게 달라붙었다. (1) 비닐주머니 속의 드라이아이스는 어떠한 상태변화를 하는지, 또 비닐주머니를 밀봉하면 어떻게 되는지 서술하시오. (2) 이 흰색의 고체물질은 무엇이며, 어떠한 과정을 거쳐 생성되었는지 서술하시오.

글 싣는 순서

⑨ 바닷가 이야기(암석) ⑩ 바닷가 이야기(곶과 만) ⑪ 여러 가지 원소와 이온 이야기 ⑫ 눈(Eye)에 대하여

■ 이 사이트로 보내세요

‘풀어서 보내요’ 문제에 대한 답을 다음 주 월요일까지 보내 주세요. 잘된 답 가운데 일부를 선정해 선물을 보내 드립니다.

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