[理知논술]중학생 통합교과 논술

수학에 기초둔 경제이론들 통합수리논술서 활용 늘듯

《영화 ‘뷰티풀 마인드’에 나오는 노벨경제학상을 받은 존 내시의 게임이론을 이야기하지 않더라도, 대부분의 경제 원리는 여러 분야의 수학이론에 기초를 두고 있고 현재에도 새롭게 연구되고 발전되는 경제이론들이 다양한 수학이론으로부터 나오고 있다. 그렇기 때문에, 사회 전반적인 현상을 포함하여 모든 교과가 통합되는 수리논술에서 가장 널리 활용될 수 있는 문제 중의 하나가 경제 원리에 대한 것이라고 해도 과언이 아니다.

경제학에서 사용되는 수학의 범위는 매우 넓고 경우에 따라 그 수준이 높기 때문에 경제 원리에는 중학생들이 다룰 수 없는 범주의 수학분야가 흔히 사용된다. 하지만 경제 원리와 관련된 수리논술을 적절하게 대처하는 근본적인 방법은 주어진 문제의 정확한 이해에서 출발하여 그 문제를 간단명료하게 수학적으로 모형화하고, 그 모형화된 수학적 문제를 다시 논리적으로 명확하게 해석한 다음, 문제를 올바르게 해결하고 서술하는 것에 달려 있다. 이러한 관점에서 보면, 경제 원리에 사용되는 고급 수학 분야의 기법을 현재 중학생으로서는 다룰 수 없다 하더라도 경제 원리 관련 수리논술의 기본 대처방법을 중학생 수준에 맞추어 학습해 보는 것은 큰 의미가 있다.

따라서 이번 호에서는 중학생이 다룰 수 있는 여러 가지 경제 원리와 관련된 수리논술 문제를 살펴보고, 그 해답을 작성하는 방법을 선보이려고 한다.》

[문제 1]

다음은 한 일간지에 보도된 기사의 일부분이다.

얼마 전 정보통신부는 전화요금에 대하여 기본료는 현행 2500원보다 1200원 인상된 3700원으로, 통화료는 현행 3분당 45원에서 6원 인하된 39원으로 조정하기로 결정했다.
이것은 기본료를 2000원 인상하고 통화료는 3분당 8원 인하하는 조정계획에 대해 시민단체가 반발하는 등 논란이 제기됨에 따라 수정된 안이다.
정보통신부의 수정된 요금조정안에 대해 정부는 전화사용 빈도가 높은 중산층이나 기업에 대해서는 요금인하 효과가 있고, 사용량이 적은 농촌 주민들이나 저소득층에게는 부담이 가중되는 등 물가정책 차원에서 바람직하지 않은 것으로 보고 있다.

시민단체의 반발로 인해 정보통신부가 계획했던 요금 조정안을 수정하였다. 수정하게 된 근거를 제시하시오.

:풀이 해설 및 정답:

현행 전화요금체계와 1차, 2차 수정된 요금체계를 정리하여 표로 나타내면 다음과 같다.

[표] 현행 전화요금체계와 수정된 요금체계 비교
	현행	1차 수정안	2차 수정안
기본료	2500(원)	4500(원)	3700(원)
통화료(3분당)	45(원)	37(원)	39(원)

[표]에서 보는 바와 같이, 3분 통화를 했을 경우, 현행 전화요금체계에 따른 전화요금은 2500 + 45t(원) 이고, 1차 수정안에 따른 전화요금은 4500 + 37t(원) 이며, 2차 수정안에 따른 전화요금은 3700 + 39t(원)이다.

먼저, 현행 요금체계와 1차 수정안에 의한 요금체계를 비교하여 보면,

2500 + 45t(원) < 4500 + 37t(원)

을 만족시키는 t값의 범위는 현행 요금체계가 더 유리한 통화범위를 나타낸다고 할 수 있다.

위의 부등식을 풀면, 8t < 2000 임을 알 수 있고, 따라서 t < 250 이므로, 3×250=750(분), 즉, 12시간 30분 이상 통화하지 않으면, 현행 요금체계가 더 유리하다. 그러므로 1차 수정안에 따른 요금체계가, 전화 사용량이 많지 않은 저소득층에게 불리하게 작용하기 때문에 2차 수정안이 필요하였음을 알 수 있다.

이제, 2차 수정안에 따른 전화요금이 현행 전화요금보다 많다고 가정해 보자. 다시 말하여 부등식

2500 + 45t(원) < 3700 + 39t(원)

을 만족한다고 가정하자. 그러면 t > 200 이므로, 3×200=600(분), 즉 10시간 이상을 통화하지 않으면, 2차 수정안의 전화요금 체계가 현행 전화요금체계보다 불리하다는 것을 알 수 있다.

그러므로 2차 수정안에 따라, 10시간 이상 전화를 사용하는 중산층이나 기업에 대해서는 현행보다 요금 인하가 이루어졌고, 1차 수정안보다는 혜택을 받는 사람이 늘어났지만, 10시간 미만 전화를 사용하는 저소득층에게는 요금 부담이 여전히 가중되고 있다는 것을 알 수 있다.

답안에서 보는 바와 같이, 주어진 문제를 정확하게 해석하여, 수학적으로 어떻게 제대로 표현하느냐에 따라서, 이러한 문제를 해결할 수 있는지가 결정된다. 위의 문제를 응용하면, 어떠한 기준을 통해서 중산층과 저소득층에게 부담이 적게 하는 방향으로 새로운 요금체계의 대안을 만드는 등의 또 다른 수리논술 문제를 생각해 볼 수도 있다.

[문제 2]

최근 정부 조사에 의하면, 교통체증으로 연 13조 원이 넘는 경제손실이 발생하고 매년 2조 원씩 늘어나고 있다고 한다. 교통체증은 자동차의 수나 폭이 좁은 도로도 문제지만, 신호체계도 한몫을 하고 있다고 할 수 있다.
서울시 교통부서에서 가장 체증이 극심한 어느 구간의 신호체계를 ‘연동속도 60’으로 바꾸려고 한다. ‘연동속도 60’이란, 연동속도 구간에서 시속 60km로 주행하였을 때, 신호에 걸리지 않고 계속 갈 수 있다는 것을 뜻한다. 그 구간에는 1.5km, 2km로 떨어져 있는 신호등 세 개가 있다. 파란불은 3분, 빨간불은 1분간 켜진다고 할 때, ‘연동속도 60’구간으로 만들기 위해 각 신호등은 몇 분 간격으로 켜지게 해야 하는지 말해 보시오.

:풀이 해설 및 정답:

신호등을 순서대로 A, B, C 라고 하자. 연동 속도를 시속에서 분속으로 바꾸어 주면 1km/min가 된다. 그렇다면, A와 B 신호등 사이의 거리는 1.5km이므로 1.5분, 즉 1분 30초가 걸리고, B와 C 신호등 사이의 거리는 2km이므로 걸리는 시간은 2분이다. 그러므로 흐름을 원활하게 하려면, 신호등 A가 켜지고 1분 30초 후에 B가 켜지고, 그리고 2분 후에 C가 켜지는 것이 좋다.

답안에서처럼, 그 구간의 거리가 달라진다고 해도 그에 따라 신호등이 켜지게 하는 간격을 정할 수가 있다. 그러나 신호등의 간격이 3km가 넘어가면 연동속도 구간을 만들 수가 없음을 설명하는 것도 이 문제의 내용과 의미를 파악하는 또 하나의 방법이라 할 수 있겠다.

[문제 3]

:풀이 해설 및 정답:

문제에서 주어진 각 도시 간의 유통량에 대한 공식은, 두 지점의 인구수의 곱을 두 지점 간의 거리의 제곱으로 나눈 것이다. 즉, 유통량은 두 지점 간의 거리의 제곱에 반비례하고, 두 지점의 인구수에 비례한다. 따라서 성은이의 의견은 옳다.

그리고 그 공식에 의하여 각 도시 간의 유통량을 계산해 보면, AB는 2.4×108이고, AC는 약 2.04×108, AD는 약 1.39×108, CD는 약 0.78×108, BD는 약 0.37×108이다. 따라서 유통량에 대한 범수의 의견 또한 옳다.

다영이의 의견이 옳다면, 즉 A 도시의 개인 소득 수준이 다른 지역에 비해 높다면 A와 연관된 AB, AC, AD가 모두 높아야 한다. 그러나 실제 유통량은 그러하지 않으므로 다영이는 잘못 분석한 것이다.

종원이의 의견대로 AC 도시 간에 고속도로를 건설했다면, 두 지점 간의 거리가 상대적으로 가까워졌으므로, 그 유통량은 커져야 한다. 그러나 오히려 실제 유통량 AC는 제일 작으므로 종원이의 의견은 잘못된 것이다.

마지막으로, 문진이의 의견대로 C지역에 제공되는 서비스가 A 지역에도 제공되었다면, 그것은 AC 간의 유통량을 감소시키는 원인으로 생각될 수 있다. 따라서 문진이의 추론은 타당하다.

따라서 다영이와 종원이의 진술만이 잘못되었음을 알 수 있다.

이러한 문제는 지난 호에서 다루었던 ‘언어논리 관련 통합교과형 수리논술’과 마찬가지로 수식의 의미를 분석하는 내용을 담고 있다. 앞서 말한 바와 같이, 경제 원리 관련 문제는 수학적인 공식과 수학이론을 직접 다루고 있지만, 그 수식이 갖고 있는 의미를 파악하는 것이 그에 관련된 수리논술을 해결하는 데 가장 중요한 열쇠임을 잊어서는 안 된다.

심소연 정보학원 중등부 수학과 팀장