[理知논술/고교 교과 논술]과학논술<4>측정과 근사

이번 호의 주제들은 논술문제의 핵심 주제로 출제될 가능성은 낮지만, 논술문제의 제시문 또는 답안작성 과정에서 활용될 가능성이 높으므로 반드시 짚고 넘어가야 한다.

물리량을 정확히 표기하기 위해서는 국제적으로 공인된 기본 규약들(특히 SI단위계)에 대한 이해가 필요하며, 유효숫자 처리 방법을 정확히 활용할 수 있어야 한다. 물리량을 계산하는 과정에서 정확한 참값은 아닐지라도 대략적인 값을 구하는 방법을 ‘근사’ 또는 ‘어림셈’이라고 한다. 근삿값을 구하는 과정에서는 정답에 얼마나 근접했는지보다는 이를 구하기 위해 얼마나 적절한 모델을 논리적으로 구성했는지가 중요하다.

물리량의 정의와 단위, 차원

물리량의 단위는 물리량의 정의와 일대일 대응을 통해 만들어진다(표 참조). 긴 단위를 줄여서 표기하는 경우가 많다. 예를 들어 힘의 단위 kg·m/sec2 은 N(뉴턴)으로, 압력의 단위 N/㎡(=kg/m·sec2)는 Pa(파스칼)로 줄여 표기한다. 이때 길이의 기본단위로 m, 질량의 기본 단위로 kg, 시간의 기본 단위로 sec가 주로 사용된다.

물리량의 정의 및 단위는 차원(dimension)과도 대응되는데, 차원이란 측정값이 길이 시간 질량 등 기본량들과 어떠한 관계를 맺고 있는지를 보여 주는 값이다. 역학량의 경우 길이 질량 시간을 각각 L, M, T라 하고 일반적으로 [Lx, My, Tz]인 형태로 나타내는데, 이때 x, y, z를 각각의 기본량의 ‘차원’이라고 한다. 면적은 [L2], 속도는 [LT-1], 에너지는 [ML2T-2]이라는 차원을 가진다. 열과 관련된 양에서는 열량 H와 온도 θ가 추가되며, 전자기적 양에 있어서는 단위계가 4개인 차원식이 쓰인다.

그 밖에 화학식량 계산에 필수적인 몰(1mol=6.02×1023), 기본단위에서 파생된 리터(1L=10cm×10cm×10cm=1000㎤), 아르(1are=10m×10m=100㎡), 바(1bar=105Pa), 톤(1t=103kg), 농도 단위인 퍼센트와 퍼밀(permil, 1‰=1/1000), ppm(parts per million), ppb(parts per billion) 등을 알고 있어야 한다. 참고로 관습적으로 많이 사용하는 시시(cc)는 세제곱센티미터(cubic centimeter)의 뜻으로서 밀리리터(mL)와 동등한 단위이다.

■ 예제

1기압은 1013hPa(헥토파스칼)이다. 이를 기본량의 단위인 kg, m, sec를 사용하여 표기하고 그 차원을 밝혀라.

물리량에 사용하는 접두어

단위 앞에 붙이는 주요한 접두어는 10의 3제곱 간격으로 16개가 있는데, 가장 대표적인 예로 m(밀리)은 10-3 을 뜻하며 k(킬로)는 103을 뜻한다. 기본적으로 사용하는 접두어 이외에 보조적으로 사용하는 접두어로 centi(10-2), deci(10-1), deca(101), hecta/hecto(102) 등이 있다.

■ 예제

산불이 나서 우리 지역 삼림 10ha가 피해를 봤다. 우리 학교 면적의 몇 배 정도인가?

유효숫자

유효숫자(significant figure)란 측정값을 구할 때 측정하여 얻은 믿을 수 있는 숫자(눈금이 있는 경우 최소 눈금의 자리까지)이며, 반올림 등에 의하여 처리되지 않은 부분이다. 따라서 유효숫자는 오차범위를 고려한다 해도 신뢰할 수 있는 숫자만을 나타낸다. 정수 부분이 한 자리인 소수에 10의 거듭제곱을 곱한 형태로 표현한다(1몰을 뜻하는 6.02×1023이라는 숫자는 전형적인 유효숫자 표기법을 따른 것이다). 예를 들어 오차가 ±2인 413.2라는 측정값을 얻었을 경우, 정확한 값은 415일 수도 있다. 따라서 소수 이하의 2라는 숫자는 신뢰할 수 없다. 신뢰할 수 있는 숫자는 4와 1 두 자리가 된다. 이때 4.1×102으로 나타내고 ‘유효숫자는 두 자리’라고 한다.

■ 예제

다음을 유효숫자 처리 원칙에 맞춰 계산하라. 단, 분모에 포함된 ‘100’의 유효숫자는 세 개이다.

기본물리량 및 간단한 모델을 이용한 근삿값 구하기

지금까지 다룬 내용을 토대로 간단한 근사(어림셈)를 실행해 볼 수 있다. 이 과정에서 물과 같은 액체나 고체 입자(분자)의 크기를 계산할 때 그 형태를 정육면체 모양으로 상정하는 간단한 모델을 사용할 수 있다.

■ 예제1

우리가 속한 은하에는 약 1000억 개의 별이 있고, 우리가 볼 수 있는 우주에는 대략 1000억 개의 은하가 있다. 이슬 한 방울(부피 0.1mL)에 들어있는 원자의 수와 우주 전체의 별의 수를 비교하고 이때 필요한 전제와 물리량을 밝히라.

■ 예제2

한낮에 1㎠에 1분당 8J 정도의 태양에너지가 지구 표면에 도달하여 모두 물의 기화열(41kJ/mol)로 사용된다면, 물 1mm의 두께가 기화되는데 얼마나 걸릴까? 또한 양지에서 물이 증발할 때 매초 몇 개의 물분자 층이 액체에서 기체로 바뀌는가? 각각 유효숫자 하나로 답하라.

수학적 관계를 이용한 어림셈

각도가 충분히 작으면 그 각도(라디안값)와 그 각도의 사인값과 탄젠트값 등 세 가지가 서로 거의 같은 값을 갖는다. 교과내용 가운데에는 물리의 회절·간섭실험에서 경로차를 구하는 과정 및 단진자의 주기 공식 유도과정에서, 그리고 지구과학의 연주시차와 거리의 관계를 구하는 과정에서 이 같은 관계가 사용된다.

■ 예제

연주시차가 별까지의 거리와 반비례하는 이유는?

☞답안은 이지논술 사이트에