[理知논술/고교 교과 논술]수리논술<3>정수론

중국인의 나머지 정리로 할아버지 나이를 맞혀보세요

정수론에 있어서 암호이론이 최신 관심사라면 몫과 나머지에 대한 탐구는 매우 오래된 주제라 할 수 있다. 한편 교과서에 소개된 나머지에 대한 정리들은 학교 시험이나 대학수학능력시험에서 빈번하게 응용돼 출제된 바 있다. 이번 호에서는 교과서의 내용을 벗어나지 않으면서도 결코 만만하지 않은 ‘중국인의 나머지 정리’로 정해 문제를 만들었다. 제시문을 제대로 읽고 그 원리를 파악해 나간다면 정수에 대한 안목이 한결 넓어질 것이다.

■ 제시문

맹랑하기 짝이 없는 한 소녀가 길을 가는 할아버지를 붙잡고 다음과 같은 질문을 한다.

“할아버지 나이를 3으로 나눈 나머지는 얼마입니까? 또 5로 나눈 나머지랑 7로 나눈 나머지를 알려주세요. 그럼 제가 10초 만에 할아버지 나이를 알아맞혀 보겠습니다.”

할아버지 왈,

“3으로 나눈 나머지는 2이고, 5로 나눈 나머지는 3, 그리고 7로 나눈 나머지는 5인데…. 그런데 너는 무슨 수로 내 나이를 알아맞히겠다는 것이냐?”

잠시 땅바닥에 주저앉아서 계산에 몰두하던 맹랑한 소녀 왈,

“할아버지 나이는 68세임에 틀림없어요. 그렇죠?”

당황한 할아버지가 ‘도대체 무슨 수로 그렇게 순식간에 나이를 알아냈느냐’고 묻자 맹랑한 소녀가 자신의 계산법을 제시한다.

2×70+3×21+5×15―105×2=68

그래도 할아버지가 납득하지 못하자, 맹랑한 소녀 왈,

“70은 5와 7의 배수이면서 3으로 나눈 나머지가 1인 자연수입니다.

따라서 2×70은 5와 7의 배수이면서 동시에 3으로 나눈 나머지가 2입니다.

21은 3과 7의 배수이면서 5로 나눈 나머지가 1인 자연수입니다.

따라서 3×21은 3과 7의 배수이면서 동시에 5로 나눈 나머지가 3입니다.

15는 3과 5의 배수이면서 7로 나눈 나머지가 1인 자연수입니다.

따라서 5×15는 3과 5의 배수이면서 7로 나눈 나머지가 5입니다.

2×70+3×21+5×15=278은 할아버지 나이처럼 3으로 나누면 나머지가 2이고, 또 5로 나누면 나머지가 3이며 7로 나누면 나머지가 5인 수입니다. 그런데 할아버지 나이는 100세가 넘어 보이지는 않아서 3×5×7=105를 두 번 뺐습니다. 105는 3, 5, 7의 배수이기 때문에 나머지에는 영향을 미치지 않습니다. 할아버지 나이는 68세가 틀림없습니다.”

■ 문제1

어떤 수학 교사의 나이는 4로 나눈 나머지가 3이고, 7로 나눈 나머지는 1이면 9로 나눈 나머지는 7이다. 위 제시문에서 맹랑한 소녀가 사용한 방법을 이용해 이 수학 교사의 나이를 맞히는 계산 방법을 제시하되 그 타당성을 구체적으로 서술하라.

■ 문제2

15로 나누어 떨어지는 숫자들 중에서 17로 나눈 나머지가 7이며 16으로 나눈 나머지가 3인 자연수를 크기 순으로 5개 나열하고, 그 5개의 자연수를 찾아낸 방법의 타당성을 설명하라.

[문제 해결의 실마리]

제시문에서 소녀가 사용한 세 개의 자연수, 즉 70, 21, 15를 어떻게 찾아냈는지를 파악하는 것이 문제를 접근하는 데 첫 번째 관문이다.

예를 들어 5와 7의 배수이면서 3으로 나눈 나머지가 1인 자연수를 찾는 방법을 알아보자.

5×7=35=3×11+2는 5와 7의 배수이면서 3으로 나눈 나머지가 2이다. 이제 여기에 임의의 자연수를 곱해도 5와 7로 나누어 떨어진다는 사실은 변함이 없다. 따라서 임의의 자연수 n을 곱했을 때 3으로 나눈 나머지가 1이 되도록 만들어 주기만 하면 원하는 자연수를 만들 수 있다.

n×5×7=n×35=3×11×n+2×n

이제, 2n이 3으로 나눈 나머지가 1이면 n×5×7도 3으로 나눈 나머지가 1인 수가 된다. 이를 만족하는 최소의 자연수는 n=2이다. 결국 2×5×7=70은 5와 7의 배수이면서 3으로 나눈 나머지가 1인 자연수가 된다.