[이지스터디] 수학동아와 함께하는 수학이야기

의자 다리가 셋이면 왜 끄덕거리지 않을까?

생활 속의 다양한 움직임에서 세상을 안정하고 균형 있게 만드는 기하학의 원리를 찾아보자.

● 셋이면 든든하다

즐거운 점심시간. 서울의 중학 1학년 김모 군은 재빨리 밥을 타서 식당 출구 주변에 자리를 잡았다.

하지만 이게 웬일인가. 하필 끄덕이는 의자를 고른것이다. 의자를 이리저리 움직여 봤지만 아무 소용이 없었다. 4개의 의자 다리 중 하나의 길이가 길었던 탓에 균형이 맞지 않았기 때문이다.

의자 다리가 3개라면 의자가 끄덕이는 일은 볼 수 없다. 각 의자 다리의 끝을 점이라고 할 때, 3개의 점은 하나의 면만을 이루기 때문이다. 점이 4개가 되는 순간에 만들 수 있는 면은 2개로 늘어난다. 물론 다리 길이가 같아서 4개의 다리 끝이 모두 같은 면에 놓인다면 의자는 수평을 유지한다. 하지만 다리 하나의 길이가 길거나 짧으면 의자 바닥에는 다리 3개가 이루는 면이 2개 생긴다. 면과 면이 이루는 각도가 크면 클수록 의자는 심하게 끄덕일 것이다.

어릴 때 처음 배우는 자전거가 세발자전거인 이유가 여기에 있다. 세 개의 자전거 바퀴는 하나의 면만을 이루기 때문에 배우기 쉽고 안정적이다. 하지만 속도가 빨라지면 상황이 바뀐다. 세발자전거로 내리막길을 빠르게 내려오다가 핸들을 휙 꺾으면 넘어지고 만다. 그래서 속도가 빠른 자동차에는 수평을 잘 맞춘 4개의 바퀴가 쓰인다. 지금은 찾아보기 힘들지만 바퀴가 3개인 삼륜차도 있었다. 가만히 서 있는 모습만으로도 왠지 불안해 보인다. 실제로 과거에는 삼륜차가 코너를 빠르게 돌다가 넘어지는 사고가 자주 있었다고 한다.

● 좌우가 마주보는 대칭

“아, 좋다 좋아!” “다시 합창합시다.”

두 문장에는 공통점이 있다. 거꾸로 읽어도 같은문장이 되는 것이다. “여보게, 저기 저게 보여”도 마찬가지다. 가수 이효리가 “내 이름은 이효리, 거꾸로 해도 이효리!”라고 외치는 말 속에는 모두 대칭의 원리가 들어 있다.

대칭이란 주어진 공간을 2등분했을 때 양쪽이 거울에 비친 것처럼 완전히 똑같은 모양으로 마주 놓여 있는 관계를 뜻한다. 대칭의 정의를 엄밀하게 적용하면 사실 앞에서 다룬 문장은 대칭이 아니다. 읽을 때 같은 음이 난다는 점에서 대칭적인 문장일 뿐이다. 하지만 한글에는 완전한 대칭을 이루는 단어가 있다.

‘무용｜용무’는 두 단어의 가운데에 거울을 둔 것처럼 똑같은 모양을 한 채 마주보고 있다. ‘소수｜수소’도 마찬가지다. 좌우대칭뿐 아니라 상하대칭도 있다. ‘이마, 피디, 이 아파’ 등은 가운데 축을 기준으로 위아래가 대칭을 이룬다. 이처럼 직선을 기준으로 양쪽이 완전히 겹치는 것을 선대칭이라고 한다.

봄이면 한 해의 행운을 빌며 대문에 써 붙이던 ‘立春大吉(입춘대길)’은 네 글자 모두가 선대칭을 이룬다. 각 글자의 가운데에 거울을 두면 좌우가 같다. 그래서 집으로 들어오려던 귀신이 앞에서 보나 뒤에서 보나 똑같은 문장 때문에 문을 들어갔다 나왔다 하면서 헤매다가 날이 밝아 도망갔다는 이야기도 전해진다.

대칭의 원리는 자연의 움직임에 균형을 안겨 준다. 우리 몸의 오른발과 왼발은 대칭을 이루고 있다. 한발 한발 걸음을 뗄 때마다 오른발과 왼발은 번갈아 움직이며 한쪽으로 치우치지 않고 앞으로 걸을 수 있게 한다.

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