[理知논술/중학생 통합교과 논술]과학적 원리를 응용한 수리논술

지동설을 주장한 갈릴레오가 얘기했다.

“자연의 커다란 책은 그 책에 쓰인 언어를 아는 사람만이 읽을 수 있다. 그 언어는 바로 수학이다.”

흔히, 수학을 ‘과학의 언어’라고 한다. 그 이유는 일련의 과학적 현상들을 더욱 명료하게 서술하여 논리적으로 이해하고 전달할 수 있게 하는 도구로써 수학을 사용하기 때문이다. 직접적으로 수학을 사용하는 물리학이나 지구과학은 물론이고 화학이나 생물학에서도 이론적인 연구뿐만 아니라 여러 가지 실험 결과에 대한 분석이나 관측된 사실들을 최적화하는 방법 등으로 수학의 기본 이론들이 널리 사용되고 있다. 심지어 한 분야의 과학 문제를 해결하기 위하여 새로운 수학의 분야가 탄생하고 발전되기도 하였다. 그러므로 많은 범주의 과학에서 그와 관련된 논술 문제를 수리적으로, 또는 수학적으로 해결해야 하는 문제들을 많이 접할 수 있다.

지난 호에서 다룬 경제 원리에서와 마찬가지로 거의 모든 범위의 수학이 과학에서 다루어진다. 따라서 과학의 많은 부분에서 중학생들로서는 내용면에서 이해하기 어려운 수학을 사용하여 기술되기도 한다. 그러나 이러한 수리논술 문제에서 가장 중요한 점은 지난 번 언급한 것과 같이 “주어진 문제를 얼마나 정확하게 이해하느냐”, 그 다음에 “그것을 어떻게 수리적으로 분석할 것인가”, 마지막으로 “어떠한 방법으로 수리논술을 작성할 것인가”라는 것을 다시 한번 상기한다면 충분히 과학원리에 대한 수리논술을 대비할 수 있을 것이라고 본다.

이번 호에서는 중학생이 다룰 수 있는 여러 가지 과학적 원리를 응용한 수리논술 문제를 살펴보고, 그 해답을 작성하는 방법을 보이도록 하겠다.

[문제 1]

:풀이 해설 및 정답:

A형, B형, O형, AB형의 사람 수를 각각 a, b, o, c 라 하자. 그러면 도시 주민의 전체 사람 수는 300이므로,

a+b+c+o=300…… (1)

이다. [그림]에 의하여 O형과 B형은 A형으로부터 수혈을 받을 수 없고 O형과 A형은 B형으로부터 수혈을 받을 수 없다. 그러므로 다음과 같은 두 식을 얻는다.

b+o=147…… (2)

a+o=157…… (3)

그리고 [그림]으로부터 어떤 혈액형이라도 수혈을 받을 수 있는 사람은 AB형이고 O형의 혈액만을 수혈 받을 수 있는 사람은 O형뿐이므로

c+o=160…… (4)

이다. 따라서 식 (2), (3), (4)를 모두 더하면, 다음의 식을 얻는다.

a+b+c+3o=464…… (5)

식 (5)에서 식 (1)을 빼면, 2o=164가 되므로, o=82가 된다. 따라서 우리가 구하고자 하는 O형의 혈액형을 가진 사람의 수는 82 명이다.

위 문제는 결국 간단한 일차연립방정식을 푸는 문제지만 혈액형에 따른 수혈관계와 문제에서 주어진 상황들에 대한 정확한 이해를 통해 간단한 수리능력을 묻는 문제로 변형하는 능력을 키우는 데 도움을 준다.

[문제 2]

개미 한 마리도 지나갈 수 없도록 적도를 따라 지구 둘레를 단단히 맨 띠가 있다. 그런데, 이 띠를 늘려서 사람이 그 사이를 기어 나갈 수 있도록 적도를 따라 지구 표면 위로 30cm씩 띄워서 띠가 지구 전체를 한 바퀴 돌게 만들고 싶다. 그렇다면 띠의 길이를 얼마나 더 길게 해야 할까?

:풀이 해설 및 정답:

우선 지구의 반지름을 R라 하자. 그러면, 현재 띠의 길이는 2πRcm 이다. 그렇다면 띠를 지구 표면 위로 30cm씩 높인다는 것은 원래 띠의 반지름 R에 30cm를 더 늘린다는 것이다. 따라서 늘린 띠의 길이는 2πR(R+30)cm 이다. 더 늘린 길이는 2π(R+30)-2πR=60πcm이다. 그러므로 약 188.4cm가 더 필요하다.

[문제 3]

:풀이 해설 및 정답:

[문제 4] 다음을 읽고 각 물음에 답하여라.

(1) 철수가 발표한 내용으로 미루어 볼 때, 점광원 1개로부터 우리 눈까지의 거리가 절반으로 줄어들면 우리 눈이 느끼는 점광원 1개의 밝기는 몇 배로 느껴지게 되는가?

(2) 다음은 지구로부터 태양계 각 행성까지의 거리를 나타낸 것이다. 이 표에서 거리의 단위는 천문단위이다. 참고로 지구로부터 태양까지의 거리를 1천문단위라 한다.

행성	수성	금성	지구	화성	목성	토성
거리	0.6	0.3	0	0.5	4	9

미래 2010년에 한국의 과학자들이 화성과 목성에 아주 큰 TV를 각각 설치해서 세계를 깜짝 놀라게 하였다고 한다. 지구에서 두 TV 화면을 망원경으로 보면 똑같은 크기와 밝기로 보인다고 한다. 그렇다면 목성의 TV 화면은 화성의 텔레비전 화면의 몇 배나 큰 것인가? (단, 두 행성에 설치된 TV의 성능은 똑같은데 단지 화면의 크기만 다르다고 한다.)

:풀이 해설 및 정답:

(1) 철수가 발표한 내용으로부터 그 내용을 정리하면, 다음 표와 같이 됨을 알 수 있다.

거리(m)	500	400	300	200	100	50
촛불(개)	100	64	36	16	4	1

즉, 표에서 보는 바와 같이, 거리가 절반으로 줄어들 때마다 촛불의 개수가 /14배로 줄어든다. 따라서 200m에서 100m로 거리가 절반 줄었으므로 16×/14=4개의 촛불이 필요함을 알 수 있다. 마찬가지 원리로 50m의 경우는 촛불이 1개면 된다. 그러므로 200m에서 100m로 줄어들 때 같은 밝기를 느끼려면 촛불의 개수는 4÷16=/14배로 줄어든다. 이로부터 거리가 절반으로 줄어들면 우리 눈이 느끼는 밝기는 오히려 4배 밝게 느껴짐을 알 수 있다.

(2) 0.5×8=4이므로 지구로부터 화성까지의 거리는 지구로부터 목성까지 거리의 /18배이다. 그리고 /18=/12×/12×/12이므로, 문제 (1)에 의하여 거리가 반으로 줄어들수록 화면의 크기는 4배씩 커져야 한다. 그러므로 화성의 TV에 비하여 목성 TV의 화면 크기는 4×4×4=64배임을 알 수 있다.

심소연 정보학원 중등부 수학과 팀장