[이지스터디/수학동아와 함께하는 수학이야기]日대지진, 규모 8.8→9.0 상향조정…

에너지는 얼마나 커졌을까?

동일본 대지진 이후 끊임없이 여진이 발생하고 있다. 피해를 입은 일본 원자력발전소 탓에 우리나라 원자력발전소의 안전도 관심거리다.

○ 지진파로 밝혀내는 진원지

동일본 대지진은 바다 밑에 있는, 길이 약 500km에 폭이 200km나 되는 큰 단층이 20m 정도 움직이면서 발생했다. 지진이 발생하면 지진파가 생기는데, 이 지진파를 측정해 지진이 일어난 곳을 알 수 있다.

용수철이 움츠러들었다 펴졌다 하듯이 앞뒤로 진동하며 움직이는 파동을 P파, 위아래로 출렁이는 파동을 S파라고 한다. 지진파 중 P파는 속도가 빨라 지진계에 먼저 기록된다. 그 다음으로 S파가 기록되는데, 둘 사이의 시간 차를 ‘PS시’라 한다. P파와 S파의 속도는 땅속 물질에 따라 정해져 있기 때문에 PS시만 알면 관측소에서 진원(지진파가 처음 발생한 한 점)까지의 거리를 계산할 수 있다.

관측소 세 군데에서 진원까지의 거리를 파악하면 진앙(진원에서 수직으로 연결된 지구 표면의 지점)의 위치를 구할 수 있다. 먼저 각 관측소에서 진원까지의 거리를 반지름으로 하는 원을 그린다. 각 원이 만나는 점을 이은 세 선분의 교점이 바로 진앙의 위치다.

○ 지진 규모 0.2 차이=에너지 2배

이번 지진의 규모는 발생 당일 8.8로 알려졌다가 이틀 뒤 9.0으로 상향 조정됐다. 불과 0.2의 차이지만 지진의 에너지는 2배가 커진 셈이라는 설명이 덧붙었다. 지진의 규모와 에너지는 어떤 관계가 있는 걸까?

지진의 규모는 지진계가 관측한 자료를 수학적으로 분석해 알 수 있다. 지진계에서 눈여겨볼 수치는 지진파의 진폭이다. 진폭이 클수록 지진의 세기는 커진다. 지진의 세기를 나타내는 ‘리히터 규모’는 가장 큰 진폭에서 계산된 로그값으로 구한다. 예를 들어 x=aY일 때 y=log ax로 나타내고, ‘y는 a를 밑으로 하는 x의 로그’라고 정의한다.

1000=103일 때, 3=log101000

100=102일 때, 2=log10100

10=101일 때, 1=log1010

라고 쓰는 식이다. 지진파는 관측소에서 진앙까지의 거리가 멀수록 약해지기 때문에 진앙까지의 거리와 진원의 깊이를 고려한 보정값 B가 덧붙는다.

밑이 10인 로그는 10배씩 커지는 값을 정수로 표현할 때 쓴다. 리히터 규모가 1.0 커질 때마다 지진파의 최대 진폭은 10배 커진다는 뜻이다. 즉 리히터 규모 6.0인 지진은 5.0인 지진보다 지진파의 최대 진폭이 10배 더 크다.

지진의 규모는 지진의 에너지를 나타내기도 한다. 지진의 에너지는 지진의 최대 진폭의 제곱만큼 커진다. 리히터 규모가 1.0 커질 때마다 지진의 에너지는 =약 31.6배 커진다. 규모가 2.0 커지면 지진의 에너지 = 1000배 커진다.

log10(지진의 에너지) ＝ (지진의 규모) + 11.8

규모 8.8에서 9.0으로 0.2 커지면 지진의 에너지가 약 2배( =10)가 되는 것도 이 때문이다. 지진 규모의 차이를 2와 0.2로 나눠 생각하면 지진 에너지의 차이를 쉽게 알 수 있다. 지진 규모의 차이가 2.6이면 2+(0.2×3)과 같으므로, 에너지는 약 8000배(=1000배×2배×2배×2배) 차이가 난다.

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이재웅 동아사이언스 기자 ilju2@donga.com