[理知논술/날아오르는 창의사고력]천문학 발전 일등공신은 수학

천문학은 우리가 살고 있는 우주를 연구하는 학문이다. 달력이나 점성술은 천문학에서 비롯됐고 현대 수학의 많은 분야도 천문학 연구 덕분에 생겨났다. 역으로 수학을 이용해 만들어낸 천문학적 결과물도 있다. 이를테면, 삼각 측량법은 그리스의 천문학자인 히파르쿠스에 의해 발명됐고, 현대 과학기술의 기초인 미적분학은 천문학 계산을 쉽고 간단하게 하기 위해 뉴튼이 발명한 것이다. 로그와 대수도 큰 수를 다루는 천문학 계산을 편리하게 하기 위해 사용됐다. 이처럼 수학과 천문학은 서로 다른 학문의 밑바탕이 되고, 서로를 발전시키는 역할을 해 왔다.

천문학은 항해사와 항법사가 쓰는 항해·항공 운항 기술이 발전하는 데 밑바탕이 되었다. 오늘날에는 인공위성이나 우주선이 지구 밖의 행성으로 정확히 도착할 수 있도록 돕는 역할도 한다. 그러나 이런 기술을 계발할 수 있는 것은 분명 수학의 힘이다. 우주선 하나를 발사하는 데는 엄청난 수학적 계산이 필요하다. 이 과정에서 자연스레 수학과 컴퓨터 기술이 발전하게 되었다. 이는 그대로 어린 학생들의 교육에도 영향을 미쳤다.

이처럼 천문학은 수학의 여러 분야와 깊이 관련되어 있다. 수학을 바탕으로 한 천문학은 앞으로도 우주의 신기한 현상들에 대한 새로운 지식을 만들어 낼 것이다. 세계화 시대, 한 국가의 경쟁력은 기초 과학이 얼마나 발전되어 있느냐에 달려 있다. 세계 무대에서 경쟁력 있는 나라가 되려면 천문학과 같은 기초 과학에 지원을 아끼지 않아야 한다.

김형진 영재사관학원·수학영재만들기 대표원장

구경 200㎜ 망원경, 우리 눈보다 몇배 더 밝게 볼수 있을까

문제1

영규는 겨울 방학에 별자리에 대해 공부하고 나서 천문대로 견학을 갔습니다. 별자리를 관측하기 전에 우선 천체망원경에 대한 설명을 들었습니다.

망원경의 성능은 다음과 같습니다.

별자리를 관측할 때는 망원경의 ‘집광력’과 ‘적정최고배율’이 중요하다고 합니다. ‘집광력’은 사람보다 망원경이 빛을 몇 배나 밝게 볼 수 있는지 알 수 있는 것으로

입니다. ‘적정최고배율’은 망원경으로 별자리를 밝고 선명하게 관측하기 위한 배율인데, 구경의 크기와 비례관계에 있습니다.

적정최고배율과 구경의 관계식을 찾고, 구경이 200mm인 망원경으로 볼 경우 눈동자의 지름이 7mm인 영규의 눈으로 보는 것보다 몇 배 더 밝게 볼 수 있으며, 그때 적정최고배율은 얼마인지 구하시오. (단, 집광력은 소수 첫째 자리에서 반올림합니다.)

구경	집광력	적정최고배율
60mm	73배	150배
80mm	131배	200배
100mm	204배	-
125mm	319배	313배
150mm	459배	375배
200mm	-	-
250mm	1276배	625배
320mm	2090배	800배
350mm	2500배	875배
400mm	3265배	1000배

■ 선생님의 도움

① 계획: 구경의 지름은 200mm이고 영규의 눈동자의 지름은 7mm이므로 대물렌즈와 사람 눈동자의 단면적을 구할 수 있습니다. 또한, 망원경 성능의 규칙을 살펴 적정최고배율의 관계식을 찾아냅니다.

② 실행:

또한, 적정최고배율에 대한 관계식은 (적정최고배율)=(구경)×2.5이므로 구경의 직경이 200mm인 망원경의 적정최고배율은 200×2.5=500(배)입니다.

③ 반성: 구경의 크기와 사람의 눈동자의 크기에 따른 빛의 밝기 정도를 알아봅니다.

문제2

천문대에서 별자리를 관측한 영규는 스스로 별자리를 관찰하기 위해 망원경을 하나 구입했습니다. 영규가 구입한 망원경은 빛이 거울에 반사되는 원리로 볼 수 있는 반사 망원경으로, 별빛이 망원경의 경통으로 들어오면 주경에 반사된 빛이 다시 부경에 반사되어 볼 수 있도록 되어 있습니다. 영규가 망원경 내부의 원리를 살펴보니 다음과 같았습니다.

영규가 가지고 있는 망원경의 구경이 100mm일 때, 별을 선명하게 관측하기 위한 부경에서

의 최소 길이는 몇 mm입니까?

문제3

구입한 망원경을 가지고 집에 돌아온 영규는 옥상으로 올라가 망원경으로 달이 막 떠오르는 모습을 보게 되었습니다. 같은 시간, 적도 부근에서는 달이 머리 위에 떠올라 있었습니다. 지구와 달까지의 거리를 알아볼 수 있는 방법을 찾던 영규는 무릎을 치며 “아하! 맞아. 이렇게 하면 되겠구나” 하고 소리를 질렀습니다.

위도와 경도를 이용하여 지구의 중심에서 달과 영규의 집이 이루는 각을 알아보았더니 89°3′이었다고 할 때, 지구와 달 사이의 거리는 약 몇 km인지 반올림하여 천의 자리까지 나타내시오. (단 cos 89°3′=0.01658, 지구의 반지름은 6400km입니다.)

문제4

달의 거리를 구한 영규는 옛날 천문학자들이 찾은 방법으로 별까지의 거리를 알아보려고 합니다. 천문학자들은 지구의 공전 때문에 천구상의 별이 6개월을 주기로 위치변화를 보인다는 것을 밝혀냈는데, 이때 지구-별-태양 사이의 각을 이용해서 지구와 별까지의 거리도 알아냈습니다. 지구에서 별까지의 거리가 멀수록 지구-별-태양 사이의 각이 작고, 거리가 가까울수록 각이 크다는 것을 이용한 방법이었습니다. 영규가 알아본 결과 지구-별-태양 사이의 각이 18°였고 A와 B 사이의 호의 길이는 AB=3×108km이었습니다. 1월의 지구 A와 별까지의 거리는 몇 km인지 반올림하여 천의 자리까지 나타내시오. (단, π=3.14)

문제5

지구에서 달의 거리와 어느 별의 거리를 알아낸 영규는 태양계 행성들에 대한 관심이 더 높아졌습니다. 태양계의 행성과 태양과의 거리를 조사했더니 아래의 표와 같은 자료를 얻을 수 있었습니다.

어떤 행성 A와 태양과의 거리를 x, 태양계에서 행성 A의 바로 안쪽을 공전하는 행성과 태양과의 거리를 y라 할 때, 영규는 자료를 보고 x+y/3x를 계산하였더니

약 3/7이 되었습니다. 행성 A는 무엇입니까?

행성명	태양에서의 평균거리(억 km)	공전주기(년)	자전주기(일)
수성	0.58	0.24	58.6
금성	1.08	0.62	243.0
지구	1.50	1.00	1.0
화성	2.28	1.88	1.0
목성	7.9	11.9	0.41
토성	14.3	29.5	0.44
천왕성	28.7	84.0	0.56

문제6

행성에 대하여 관찰하고 공부하면서 자전과 공전에 관심이 많아진 영규는 천문학 잡지를 읽다가 한국이 2030년에 쏘아 올릴 두 위성, ‘무궁화 20호’와 ‘우리별 30호’에 대한 기사를 보았습니다. 기사 내용이 다음과 같을 때, 두 위성이 공전하는 고도를 구하시오. (단, 지구의 반지름은 6400km인 완전한 구로 가정합니다.)

▶easynonsul.com 및 수학영재만들기 홈페이지(www.tamnsu.com)에 풀이 및 동영상 강의