[理知논술/교과서로 논술 잡기]수리영역

《‘교과서에 나오는 심화학습 문제에 통합교과형 논술 대비책이 숨어 있다.’ 서울대 등 주요 대학과 논술 전문가들의 한결같은 주장이다. 교과서를 통해 논술의 기초를 충분히 다질 수 있다는 것이다. 고교 교과서의 핵심 내용을 논술 준비 강의로 진행하는 새 연재를 시작한다. 한 주는 사회와 과학, 한 주는 언어와 수리를 싣는다.》

□ 주제: 수와 식(1)

※ 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가) 우리는 현재 10진법의 세계에 살고 있다. 그래서 10진법의 곱셈 공식인 구구단을 초등학교 때부터 외우기 시작한다. 그러나 10진법을 사용하기 시작한 것은 인류의 역사에 비하면 그리 오래되지 않았고, 10진법을 사용하게 된 것도 사람의 손가락이 10개이기 때문이라는 설이 유력하게 제기되고 있다.

12진법과 60진법은 고대 수메르인들이 방대한 국가 재산을 관리하기 위해 처음으로 사용했다고 전해지고 있으며, 현재에도 12진법과 60진법의 잔재가 여러 곳에 남아 있다. 연필이나 볼펜은 12개를 한 묶음으로 하여 1타(dozen)라고 하는 것은 12진법의 잔재이고, 60분을 1시간으로 하는 것은 60진법의 잔재라고 할 수 있다.

우리 조상들은 천간인 10진법과 지지인 12진법, 육십갑자인 60진법을 적절히 활용하여 시간을 표시했다.

한편 현대 사회의 총아인 컴퓨터는 이진법으로 움직이는 기계이다. 이진법은 0과 1, 두 개의 기본수로 이루어진다. 서양에서 이진법을 처음으로 고안한 사람은 독일의 수학자인 라이프니츠이다.

그런데 중국에 선교사로 가 있던 라이프니츠의 친구가 ‘주역본’에 나오는 도해를 라이프니츠에게 보내 주었는데, 여기에는 이진법의 원리에 따른 64개의 궤가 원과 정사각형으로 배열되어 있었다. 이 도해를 받은 라이프니츠는 이미 오래전 동양에 이진법이 있었다는 사실에 놀라면서 동양 수학을 극찬했다고 한다.

우리나라 태극기에도 주역의 이진법의 원리가 구현되어 있다. 네 귀퉁이에는 건(乾·하늘), 곤(坤·땅), 감(坎·달), 이(離·해), 네 개의 괘가 그려져 있다. 실제 3개의 효(爻)를 배열하여 만들 수 있는 경우는 모두 8가지로, 초기의 태극기에는 8괘가 모두 포함돼 있었다. 양(―)과 음(­­)에 각각 1과 0을 대응시키면 8괘를 이진법의 수로 표현할 수 있다.

(나) 정수 아닌 유리수를 유한소수와 순환하는 무한소수로 나눌 수 있다. 즉 1/2=0.5는 유한소수이고 1/3=0.333…=0.-3은 순환하는 무한소수이다. 그런데 유한소수는 그 값이 정확히 얼마인지 직관적으로 판단할 수 있지만 순환하는 무한소수는 분수 형태로 나타내지 않으면 직관적으로 판단하기가 힘들고 유한소수와 같이 간단하게 표기되지도 않는다. 즉 0.011111…는 분수로 바꾸어 1/90로 나타내어 봐야 그 값이 정확히 얼마인지 판단하기가 쉽다.

(다) 0과 1을 기본수로 갖는 이진법에서는 2만 되어도 두 자릿수로 바뀐다. 십진법의 수 2와 3은 이진법에서 각각 10과 11로 표현되고, 십진법의 수 4는 이진법에서 세 자릿수 100으로 표현된다. 이와 같이 이진법에서는 자릿수가 급격하게 늘어난다.

한편 ‘12진법의 모임’의 회원인 소연이는 자연수를 다음 표와 같이 대응하여 적는다고 한다.

이것은 10진법에서 나타내는 수 10, 11에 대해 12진법에서는 일정한 문자로 표시하여 기억하기로 약속을 한다. 12진법 덧셈의 예를 들면 1+9=x, x+y=19이다. 여기에 10진법에 비해 12진법의 장점 중 하나가 있다.

10진법	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	…
12진법	1	2	3	4	5	6	7	8	9	x	y	10	11	…

※ 효(爻): 주역의 기본 단위인 효(爻)에는 양(―)과 음(­­)이 있는데, 각각 1과 0에 해당한다. 우리 조상들은 천간인 10진법과 지지인 12진법, 육십갑자인 60진법을 적절히 활용하여 시간을 표시했다.

□ 논제

<논제1> 10진법에서 기약분수로 나타낸 유리수의 분모가 2 또는 5로 소인수분해가 되면 정수 아닌 유리수를 유한소수로 나타낼 수 있다는 것을 논리적으로 설명하여라.

<논제2> 제시문을 참고하여, 2진법, 10진법, 12진법, 60진법의 장단점을 세 가지 측면에서 비교 설명하고, 우리의 일상생활에서 어떤 진법을 사용하는 것이 적당할 것인지 자신의 생각을 논리적으로 설명하시오.

□ 출제 의도

우리는 현재 10진법의 세계에 살고 있어서 10진법이 가장 편하다고 생각할 수 있지만, 각각의 진법에는 장점과 단점이 공존하고 있다. 각 진법의 장단점을 곱셈공식, 유한소수의 개수, 수의 표기의 관점에서 비교해 보면, 우리가 쓰는 10진법이 12진법에 비해 편리해서라기보다는 사람의 손가락이 10개이기 때문이라는 우연설이 유력하게 제기되고 있는 이유에 대해서 알 수 있다.

글 싣는 순서(수리)
1	집합과 논리 (1)
2	집합과 논리 (2)
3	수와 식 (1)
4	수와 식 (2)
5	수와 식 (3)
6	도형과 문제 해결 (1)
7	도형과 문제 해결 (2)
8	함수의 활용 (1)
9	함수의 활용 (2)
10	함수의 활용 (3)
11	지수·로그의 실생활 응용 (1)
12	지수·로그의 실생활 응용 (2)
13	행렬의 실생활 응용 (1)
14	행렬의 실생활 응용 (2)
15	수열과 추론 (1)
16	수열과 추론 (2)
17	수열과 추론 (3)
18	수열의 극한의 활용 (1)
19	수열의 극한의 활용 (2)
20	경우의 수란 무엇인가?
21	확률의 활용 (1)
22	확률의 활용 (2)
23	통계의 허와 실 (1)
24	통계의 허와 실 (2)

□ 제시문 해설

컴퓨터는 전기적 자극을 통해 연산을 한다. 전기가 통하는 것을 1, 안 통하는 것은 0으로 하여 2진법으로 연산을 하는 것이 비용이나 효율성 면에서 가장 적절하다고 한다. 이는 곱셈공식이나 사칙연산이 다른 기수법에 비해 간단하기 때문이다.

그렇지만 우리가 전기의 입자인 전자의 속도만큼 빠른 계산능력이 없는 한, 이진법을 일상적으로 사용하기엔 큰 불편함이 따른다. 자리수가 급격히 늘어나기 때문이다.

제시문 (나)에서와 같이 10진법은 10의 약수가 1과 10을 포함하여 2, 5가 있는데 유한소수로 표현되려면 기약분수의 분모가 2나 5로 소인수분해되어야 한다. 여기에서 기약분수의 분모의 약수가 많으면 많을수록 소수의 표기가 간단해진다는 점을 유추할 수 있다. 60진법을 사용한 이유도 그렇다. 분모의 약수가 1과 60을 제외하고도 8개의 약수를 갖는다는 점에서 60진법은 소수의 계산이나 표기가 번거로웠던 과거에는 장점이 많은 진법이었을 것이다.

穩輸