[理知논술]중학생 통합교과 논술/영화 및 예술 관련 수리논술

‘피보나치 수열’ 알면

‘다빈치 코드’도 술술

《영화 ‘뷰티풀 마인드’나 ‘굿 윌 헌팅’처럼 직접 수학자를 소재로 한 영화 이외에도 많은 영화 속에서 우리가 쉽게 접근할 수 있는 수학적 사실을 이용하거나 또는 수학적으로 접근하여 위기를 모면하는 장면을 가끔 보게 된다. 아마도 그것은 수리 과학적 사고력이 관객들에게 탐정이 된 것 같은 극적인 흥미를 줄 뿐 아니라 좀 더 현실감을 느끼게 하기 위한 것으로 보인다.

영화뿐만 아니라 음악이나 미술과 같은 예술 분야에서도 수학적 원리가 깊이 숨어 있다. 우리가 현재 사용하는 음계의 기본을 수학자로 널리 알려진 피타고라스가 만들었다는 것은 무척 새로운 사실일 것이다. 그리고 여러 예술 작품을 보면 지난 호에서 다루었던 황금비나 기하학에서 다루고 있는 원근법과 밀접한 관련이 있다는 것을 알 수 있다.

고대에는 수학을 비롯한 과학을 연구한 학자들이 철학 및 예술에도 뛰어난 재능을 보인 예가 많은 것을 보면 당시 예술의 기본에 수리과학이 자리 잡고 있다 해도 그다지 놀라운 일이 아닐 것이다. 그러므로 예술과 관련한 수리논술 문제를 생각해 보는 것은 흥미로운 논술 학습이 될 수 있다.

따라서 이번 호에서는 중학생이 다룰 수 있는 영화나 예술과 관련된 수리논술 문제를 살펴보고, 그 해답을 작성하는 방법을 보이려고 한다.》

[문제 1]

영화 ‘다이하드3’에는 다음과 같이 악당이 낸 문제를 해결하는 주인공을 다루고 있다.

위의 글을 읽고 다음과 같은 경우를 생각해 보자. 4갤런과 9갤런의 물통을 가지고 있다. 그 두 개의 물통을 가지고 2갤런의 물을 만들고 싶다. 그것이 가능한가? 그리고 4갤런과 6갤런의 물통이 있고 그 두 개의 물통으로 1갤런의 물을 만들고 싶다. 그것이 가능한가?

◇풀이 해설 및 정답

먼저 4갤런과 9갤런 물통을 가지고 있을 때를 생각해 보자. 2갤런의 물을 만들기 위해서 수식 5×4+(-2)×9=2를 통해 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. 수식이 의미하는 바는 4갤런의 물을 5번을 채우고 9갤런 물통을 두 번 비우면 2갤런을 얻을 수 있다는 것이다.

이것을 구체적으로 설명하면, 4갤런 물통에 물을 채워 9갤런 물통에 넣는다. 다시 4갤런 물통에 물을 채워 9갤런 물통에 또 넣는다. 그러면, 9갤런 물통에는 8갤런의 물이 들어 있다. 또다시 4갤런 물통에 물을 채워 넣을 수 있을 만큼 9갤런 물통에 넣으면, 4갤런 물통에는 3갤런의 물이 남고, 9갤런 물통은 가득 차 있다. 9갤런의 물을 비운 후, 4갤런 물통에 들어 있는 3갤런의 물을 9갤런 물통에 넣고, 다시 4갤런 물통을 채운 후, 9갤런 물통에 넣는다. 그러면, 9갤런 물통에는 7갤런의 물이 들어 있게 된다. 즉, 2갤런의 여분이 있을 뿐이다.

따라서 마지막으로 4갤런 물통에 물을 채운 뒤, 9갤런 물통에 채울 수 있을 만큼 물을 채우면 4갤런에는 2갤런의 물이 남게 된다.

마찬가지로, 수식 (-4)×4+2×9=2를 생각하면 다른 하나의 방법을 생각할 수 있다. 그러나 방정식 4x+6y-1에 정수해 x, y가 존재한다면, 4x+6y가 짝수이지만 1은 홀수이므로 모순이 발생한다. 그러므로 위 방정식은 정수해가 존재하지 않는다.

따라서 4갤런, 6갤런 물통을 가지고 있는 경우는 방정식 4x+6y=1의 정수해 x, y가 존재하지 않으므로, 1갤런의 물을 만드는 것이 불가능하다.

[문제 2]

음정을 표시하는 서양음악의 장음계는 ‘도(度)’를 단위로 표시하는 방법이다. 이 방법에서는 한 단계 떨어진 두 음정을 2도라고 하고 거리가 1단계, 즉 2도씩 멀어짐에 따라서 차례로 3도, 4도,…라 하며 8도는 옥타브라고도 한다. 예를 들어 도와 한 단계 떨어진 ‘레’와 ‘시’는 각각 2도 높은 음과 낮은 음이며 두 단계 떨어진 ‘미’와 ‘라’는 각각 3도 높은음과 낮은음이다. 피타고라스는 하프의 현의 길이가 처음의 3분의 2배, 2분의 1배가 되면 처음 음보다 각각 5도, 8도 높은 음이 나오고, 역수인 2분의 3배, 2배가 되면 처음 음보다 각각 5도, 8도 낮은 음이 나오는 규칙을 발견하였다. 예를 들면 처음 음이 ‘도’일 때, 현의 길이의 3분의 2배, 2분의 1배가 되면 각각 5도 높은 음인 ‘솔’과 8도 높은 한 옥타브 위의 ‘도’가 나온다. ‘도’의 음을 내는 현의 길이를 a, ‘도’보다 2도 높은 ‘레’의 음을 내는 현의 길이를 b라 할 때, ab의 값은?

◇풀이 해설 및 정답

‘도’에서 5도 높이면 ‘솔’이고, ‘솔’에서 5도 높이면 한 옥타브 높은 ‘레’이므로, 그 ‘레’에서 한 옥타브를 내리면 원래 ‘도’에서 2도 높은 ‘레’의 음을 얻을 수 있다. 그에 따라 현의 길이를 알아보면 다음과 같다.

‘도’에서 한 옥타브 위 ‘레’가 나오려면, 현의 길이는 /23×/23=/49배가 되고 ‘레’에서 한 옥타브 낮은 ‘레’가 나오려면 현의 길이가 2배가 되면 되므로 ‘레’의 음을 내는 현의 길이는 b=a×/49×2=/89a가 된다. 따라서 ab=a/89a=9:8이다.

[문제 3]

영화 ‘다빈치 코드’에 대한 다음의 글을 보자.

위 내용에서 다루는 ‘피보나치 수열’과 관련하여 다음 문제의 해답을 서술하라.

◇ 풀이 해설 및 정답

철수는 전체 2계단을 1계단, 2계단의 2가지 방법으로 올라가는 것이 가능하다.

이것은 k번째의 계단에 있을 때, k-1번째에서 올라오는 경우와 k-2번째에서 올라오는 경우가 있다는 뜻이다. 구체적으로 살펴보면, 1계단째를 가는 방법은 1가지라는 것을 쉽게 알 수 있고, 다음으로 2계단째를 가는 방법을 생각해 보자. 그러면 2계단째를 가는 방법은 출발점에서 바로 올라가는 경우(1가지), 1계단째에서 올라가는 경우(1가지) 등의 2가지 방법을 생각해 볼 수 있다. 이번에는 3계단째로 가는 방법을 생각해 보자. 이 경우는 1계단째에서 올라가는 경우(1가지), 2계단째에서 올라가는 경우(2가지)를 생각할 수 있으므로 1+2=3가지가 된다. 다음은 이 방법대로 계속하면 된다. 그러므로 4계단째로 가는 방법은,

2계단째에서 올라가는 경우(2가지), 3계단째에서 올라가는 경우(3가지)의 합계로 2+3=5가지가 된다. 이와 같은 방법을 계속하면,

1계단째는 1가지, 2계단째 1+1=2가지, 3계단째 1+2=3가지,

4계단째는 2+3=5가지, 5계단째는 3+5=8가지, 6계단째 5+8=13가지,

7계단째는 8+13=21가지, 8계단째는 13+21=34가지, 9계단째 21+34=55가지,

10계단째는 34+55=89가지, 11계단째는 55+89=144가지,

12계단째는 89+144=233가지이다.

위 문제를 응용한 문제는 몇몇 이름 있는 학교에서 출제된 적이 있는 ‘유명 문제’이다. 해답에서 알 수 있듯이, 경우의 수라고 하기보다는 규칙성(이른바 수열)과 관련된 문제라고 하는 것이 좋을 것 같다. 이와 비슷하게 ‘앞의 3개의 경우의 수의 합’을 구하는 것으로 전체의 경우의 수를 구하는 것을 ‘트리피보나치수열’이라고 한다. 수학의 세계에서는 아주 유명한 수열이므로 ‘어디서 들은 적이 있는 듯하다’라고 생각할 수도 있을 것이다. 이 수열은 여러 가지 재미있는 성질을 가지고 있어서 대학입시 문제로도 빈번히 출제되고 있다.

심소연 정보학원 중등부 수학과 팀장