[理知논술/고교 교과 논술]수리논술<4>평행이동과 테설레이션

벌집은 육각형이 평면을 빈틈없이 덮고 있는 구조를 가지고 있다. 가정집의 마루 및 욕실 바닥에 깔려 있는 타일이나 길거리의 보도블록, 상품의 포장지 문양, 한국의 전통 문양 등에서도 반복되는 문양이 평면을 빈틈없이 덮고 있는 것을 볼 수 있다. 이처럼 여러 가지 모양의 도형이 겹쳐지거나 빈틈이 생기지 않게 평면을 완벽하게 덮도록 배열하는 것을 테설레이션(Tessellation)이라고 한다.

한편 테설레이션 무늬를 만드는 대표적인 방법은 평행이동과 대칭이동이다. 아래의 두 예시는 평행이동과 대칭이동을 이용해 테설레이션 무늬를 만드는 과정을 표현한 것이다.

1.평행이동을 이용한 테설레이션 기법으로 다각형의 보도블록을 디자인하는 과정

먼저 보도블록의 왼쪽 경계선 AB와 아래쪽 경계선 BC를 그린다. 그 다음에는 두 경계선 AB, BC를 각각 그림과 같이 평행이동하여 전체 보도블록의 경계선 ABCD를 완성한다.

이렇게 디자인한 보도블록은 다음과 같이 평면을 빈틈없이 완전히 덮을 수 있다.

2. 대칭이동과 평행이동을 동시에 이용한 테설레이션 기법

일단 임의의 예각삼각형으로 예를 들자면 테설레이션 무늬가 만들어 지는 과정은 다음과 같다. 아래 그림과 같은 삼각형 ABC에서 삼각형 ABC를 선분 AC의 중점에 대한 점대칭(또는 180°회전이동)한 삼각형을 그린 후, 두 삼각형을 각각 적절히 평행이동하면 된다.

문제1

직사각형이나 평행사변형의 경우에는 평행이동을 이용하여 평면 전체를 빈틈없이 덮을 수 있는 테설레이션 무늬를 쉽게 만들 수 있다. 등변사다리꼴이 아닌 일반적인 사다리꼴을 이용하여 테설레이션 무늬를 만드는 과정을 그림과 함께 설명해 보아라.

문제2

모든 일반적인 볼록 사각형으로도 평면을 빈틈없이 완벽하게 덮을 수 있다. 그 예를 하나 제시해 보아라.

과거 모 대학 수리논술 기출문제 중에 다음과 같은 문제가 있었습니다.

“학교 앞에 보도블록을 깔고자 한다. 보도의 가장자리는 블록을 잘라서 사용할 수 있지만 그 외의 부분은 보도블록을 자르지 않고 틈새가 없게 맞춰 넣어야 한다. 그런데… 정사각형으로 제작되어야 할 보도블록들이 다른 모양의 사각형으로 제작되었다…. 제작된 블록들은 크기와 모양이 동일하다고 한다…. 잘못 제작된 보도블록이 어떤 모양의 사각형일 때 그대로 사용할 수 있을는지, 가장 일반적인 조건을 설명하시오.”

아마도 이 대학의 출제진이 생각하기에는 어떤 제약조건이 있었나 봅니다. 그러나 이 문제는 우리의 [문제 2]와 완전히 동일한 내용의 문제입니다. 정답은 “어떠한 제약조건도 없다”입니다. 가슴 아픈 현실을 적나라하게 드러내는 문제라 아니할 수 없습니다.