[理知논술/날아오르는 창의사고력]확율 개념의 탄생지는 바로…

확률 개념의 탄생지는 바로… 르네상스 시대 상인들의 도박판!

현대 사회의 모든 분야에서 수학은 어떤 학문보다 중요한 역할을 담당하고 있다. 특히 확률은 정치 경제 사회 과학 등 전 분야에 걸쳐 광범위하게 사용된다. 확률은 ‘수학의 유용성과 실생활 적용’을 강조하는 현 교육의 추세를 잘 반영해 사고력 향상에도 도움을 줄 수 있다.

그러나 우리는 확률과 실생활의 연관성을 찾지 못한 채 수박 겉핥기식으로 학습하고 있다. 확률이 우연적 현상을 분석하는 것이기 때문에 논리적으로 명쾌한 해석을 내리기 어렵고 오류 가능성이 높아서 이론 중심으로 전개되기 때문에 우리의 흥미를 끌지 못하는 것이다.

이러한 어려움은 확률의 역사적 배경을 살펴보는 것으로 어느 정도 극복할 수 있다. 확률의 개념은 르네상스시대 상인들 사이에서 싹텄다. 당시 지중해 연안에서 일확천금을 꿈꾸던 상인들은 선박을 타고 다니며 무역의 주춧돌 역할을 했다. 이들은 날씨가 궂어 출항하지 못할 때 무료함을 달래기 위해 우연으로 승부를 가리는 도박을 하게 됐다. 우연성을 본질로 하는 도박에서 이기기 위한 방법을 찾기란 쉬운 일이 아니었다. 상인들은 도박의 수많은 경우에 대해 고민했고, 드디어 우연 속에도 우연을 지배하는 법칙이 있음을 깨닫게 됐다. 이들의 고민이 모여 ‘확률론’이라는 학문을 이루게 된 것이다.

확률은 도박과 함께 발전했기 때문에 승부를 조작하는 기술과 조작된 게임에 다른 사람을 참가시키기 위해 상대방이 유리하게 보이도록 하는 기술이 더불어 발전하게 됐다. 인위적으로 포장된 게임에 논리적으로 모순이 없는지 판단하려면 정확한 논리력이 필요하다. 확률에서도 우리가 무의식적으로 지나칠 수 있는 역설적 요소를 찾아내어 원인을 분석하다 보면 논리적 사고를 기를 수 있다.

주변에서 경험할 수 있는 상황이 제시된 다음 문제를 통해 확률과 그 역설을 분석해보고 공평하게 보이는 듯한 상황에서 논리적인 모순을 찾아보자.

김형진 영재사관학원·수학영재만들기 대표원장

상자 A,B,C중 하나에 선물

A골랐더니 B는 비어있대요

계속 A 가진다? C로 바꾸는 게 유리?

문제 [1]

동선이는 정원이에게 줄 생일 선물을 3개의 상자 중 한 상자에 넣어 놓고, 다음과 같이 말해주었습니다.

동선 : 정원아. 네가 원하는 선물을 세 상자 중 한 곳에 넣어 놓았고, 나머지 두 상자는 빈 상자야. 네가 선택한 상자를 너의 생일 선물로 줄 거야. 그럼 선물이 들어 있는 상자를 잘 골라봐.

정원 : 정말! 음... 난 A상자를 선택할래.

동선 : 흠. 그래?

(동선이는 B상자에 선물이 없는 것을 알고, B상자를 열어 보이며)

동선 : 자. B상자에는 선물이 들어 있지 않아. 정원아, 이제 두상자 중 한 상자에 선물이 들어 있어. C상자로 바꾸지 않을래?

정원 : …

정원이는 과연 동선이의 말을 듣고 C상자로 바꾸는 것이 좋을까요? 아니면 처음 선택했던 A 상자를 갖는 것이 좋을까요?

■ 선생님의 도움

① 계획: 처음에 세 상자 중 A상자를 선물로 받을 확률과, 동선이의 말을 듣고 선택을 바꾸어 C상자를 선물로 받을 확률을 구합니다.

② 실행: 정원이가 세 상자 중 하나를 선택하여 선물을 받을 확률은 1/3입니다.

정원이가 A상자의 선택을 유지할 때와 C상자로 선택을 바꿀 때 얻게 되는 확률을 구해봅시다.

ⅰ) A상자의 선택을 유지할 경우

처음 선택한 A상자에 선물이 있을 확률은 1/3이고, A상자의

선택을 유지하면 정원이가 선물을 받을 확률은 1/3입니다.

ⅱ) C상자로 선택을 바꿀 경우

처음 선택한 A상자에 선물이 있을 확률은 1/3이고, 그 후에 B상 자에 선물이 없음을 알게 되었으므로 C상자에 선물이 있을 확률은 1-1/3=2/3가 됩니다.

따라서 상자를 바꾸지 않을 경우에 선물을 받을 확률이 1/3, 상자를 바꿀 경우에 선물을 받을 확률이 2/3이므로 정원이는 선택한 상자를 바꾸는 것이 유리합니다.

이 상황을 표로 나타내어 보면 다음과 같습니다.

여기서 O표는 선물이 들어 있는 상자, X표는 선물이 들어 있지 않은 상자입니다. A상자를 선택했다고 했을 때, 첫 번째 경우는 동선이가 B상자나 C상자 중 하나를 열게 됩니다. 그대로 있으면 선물이 들어 있는 상자, 옮긴다면 선물이 들어 있지 않은 상자입니다. 두 번째 경우는 동선이가 C상자를 열게 됩니다. 그대로 있으면 선물이 들어 있지 않은 상자를, 움직이면 선물을 받게 됩니다. 세 번째 경우엔 동선이가 B상자를 열고 정원이가 그대로 있으면 선물이 들어 있지 않은 상자를, 움직이면 선물을 받게 됩니다. 즉, 선택을 바꾸지 않을 때 선물을 얻을 확률이 1/3, 선택을 바꿀 때 선물을 얻을 확률이 2/3임을 알 수 있습니다.

③ 반성: 상황이 달라짐에 따른 각 경우에 확률을 생각해 봅니다.

문제 [2]

다음은 정원이와 정원이 아버지의 대화 내용입니다. 정원이의 생각이 옳은지 판단하시오. 만약, 옳지 않다면 정원이 생각의 오류를 말하시오.

아버지 : 정원아, 우리 바둑돌 30개씩 갖고 게임 한번 해볼래?

정원이가 이기면 최신형 컴퓨터를 사주고, 정원이가 지면 아빠 부탁을 들어 줄래?

정원 : 음….어떤 방법인지 한 번 들어보고 결정할게요.

아버지 : 정원이가 먼저 1부터 6까지의 수 중 한 개를 선택하면, 나는 색이 다른 주사위 두 개를 동시에 던질 거야. 정원이가 선택한 수가 나오지 않으면 바둑돌 한 개를 나에게 주고, 두 개의 주사위 중 하나의 주사위에서 정원이가 선택한 번호가 나오면 내가 바둑돌 두 개를 주고, 두 개의 주사위에서 모두 나오면 네 개의 바둑돌을 주는 거야.

정원 : (속으로 생각하며) ‘주사위가 하나뿐이라면 내가 선택한 번호가 나올 확률은 1/6이다. 그런데 주사위가 두 개이므로 두 번 던졌을 때 내가 선택한 번호가 나올 확률은 1/6+1/6=2/6=1/3이므로 내가 선택한 번호가 나올 확률은 1/3이다. 그런데 내가 컴퓨터를 받을 수 있는 확률은 받을 수 없는 확률보다 더 높다. 내가 선택한 번호가 한 개의 주사위에서 나오면 아버지로부터 바둑돌을 두 개 받고, 두 개의 주사위에서 나오면 네 개 받으므로 이 게임은 나한테 더 유리하다.’

정원 : 아빠, 우리 빨리 게임해요.

문제 [3]

다음은 정원이의 아버지와 어머니의 대화 내용입니다. 정원이의 아버지와 어머니의 생각은 과연 옳을까요? 만약, 오류가 있다면 무엇인지 찾아보고, 바르게 생각해봅시다.

어머니 : 여보, 옆집에 새로 이사 온 부부가 음식을 갖고 왔어요.

아버지 : 그래요? 아까 보니 아이가 많던데, 모두 몇 명이지?

어머니 : 세 명이라던데요. 그리고 부인의 배 속에 아기가 있어서 몇 달 후에는 네 명이 되겠지요.

아버지 : 음, 그렇다면 딸과 아들이 모두 있겠군요.

어머니 : 글쎄요. 전부 딸일 수도 있겠죠.

아버지 : 모두 딸이거나 아들일 가능성은 별로 없겠지요?

어머니 : 아마도 그렇겠죠. 딸이거나 아들일 확률은 이니까요.

아버지 : 잠깐, 딸이거나 아들일 확률은 같으니 옆집 부부의 아

이들의 성비는 1:1이 될 가능성이 가장 많겠군요.

어머니 : 아하! 그렇군요.

문제 [4]

동선이와 정원이는 색이 서로 다른 주사위 3개를 가지고 놀이를 하고 있습니다. 동선이와 정원이의 대화 내용을 읽고, 정원이의 생각이 옳은지 판단하시오. 만약, 옳지 않다면 정원이 생각의 오류를 말하시오.

동선 : 색이 서로 다른 주사위 3개를 던져 나온 눈의 수의 합이 9가 되는 확률과 10이 되는 확률은 같을까?

정원 : 흠…. 그런 것 같은데. 내가 한 번 만들어 볼게.

(정원이는 주사위 세 개를 돌려가며 합이 9가 되는 경우와 10이 되는 경우를 만들어 보았습니다.)

정원 : 9가 되는 경우는 (1, 2, 6), (1, 3, 5), (1, 4, 4), (2, 2, 5), (2, 3, 4), (3, 3, 3)으로 6가지이고, 10이 되는 경우는 (1, 3, 6), (1, 4, 5), (2, 2, 6), (2, 3, 5),(2, 4, 4), (3, 3, 4)로 6가지야. 따라서 주사위 3개를 던져 나온 눈의 수의 합이 9가 될 때와 10이 될 때 확률은 같지.

동선 : 아! 그렇구나.

문제 [5]

정원이네 반 학생들은 학기가 끝나고 방학을 기다리고 있습니다. 학생들이 선생님께 ‘책거리’를 하자고 하자 선생님께서는 학생들에게 게임을 해서 이기면 하겠다고 약속했습니다. 그리고 다음과 같이 게임의 법칙을 설명했습니다. 만약 선생님과 학생들이 게임을 하게 된다면 이 게임은 선생님의 설명대로 공정한 것일까요?

자, 게임의 법칙에 대해서 설명하겠어요. 책상 위에 세 장의 카드가 있죠.

첫 번째 카드는 양면에 보라색이 칠해져 있고, 두 번째 카드는 한 면에는 보라색, 다른 한 면에는 노란색이 칠해져 있고, 세 번째 카드는 양면에 노란색이 칠해져 있어요. 이 세 장의 카드를 섞은 후 한 장을 꺼내 책상 위에 놓겠어요. 이 카드의 보이는 면의 색과 뒷면에 칠해진 색이 같으면 내가 이기고, 다르면 여러분이 이기는 거예요.

예를 들어서 설명하면 책상에 놓은 카드가 보라색인 경우, 이 카드는 양면이 보라색이거나 뒷면이 노란색입니다. 그렇다면, 내가 이길 확률과 여러분이 이길 확률은 반반인 거죠. 또, 책상에 놓은 카드가 노란색인 경우, 이 카드는 양면이 노란색이거나 뒷면이 보라색입니다. 이 경우 역시 확률은 반반이 됩니다. 이 게임은 다른 게임과 달리 공평하죠?

[정답] 2. 정원이의 생각은 옳지 않습니다.

3. 정원이의 아버지와 어머니의 생각은 옳지 않습니다.

4. 정원이의 생각은 옳지 않습니다.

5. 공정하지 않습니다.

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