[理知논술]중학생 수리 논술

《수에 관한 피타고라스의 놀랄 만한 발견은 음정이 수의 비에 따른다는 사실입니다. 일설에 의하면, 대장간 옆을 지나던 피타고라스가 들려오는 망치 소리가 각기 다른 음을 내면서도 서로 조화롭게 울린다는 것에 착안하여 음계를 만들었다고 합니다.

피타고라스 음계에 대한 이론은 현악기에서 협화음을 내는 두 개의 현의 길이의 비에 주목한 것에서 비롯됩니다. 피타고라스는 모노코드라고 하는 단선 악기의 브리지를 이동시켜 진동하는 부분의 길이를 바꿈으로써 음계를 만들었습니다. 현의 길이를 2/3로 하면 본래의 음보다 5도 높은 음이 나오고 현의 길이를 1/2로 하면 본래의 음보다 8도, 즉 한 옥타브 높은 음이 나옵니다.

요컨대 현의 길이의 비율이 1 : 2/3 : 1/2 의 비율이면 현이 내는 음의 진동수의 비율은 이들의 역수인 1 : 3/2 : 2입니다. 이런 방법을 기초로 피타고라스의 질문을 해결해 봅시다.》

[질문1] 위에서 얻어진 비율에는 어떤 규칙이 있습니까?

<선생님의 도움>

①계획 세우기

현의 길이의 비율에서는 규칙을 찾기 어렵습니다. 따라서 현의 길이의 역수인 진동수의 비율에서 규칙을 찾아봅니다.

②실행하기

진동수의 비율이 1, 3/2, 2로 처음 숫자 1에 1/2을 더하면 다음 수 3/2이 되고, 3/2에 다음 수 1/2을 더하면 2가 되어 1/2씩 늘어나는 규칙이 있습니다.

③반성하기

어떤 숫자들의 규칙은 직접적으로 보이지 않는 경우가 있습니다. 이러한 경우에는 다양하게 생각해 보며 규칙을 찾아내는 습관을 길러야 논리적 사고를 필요로 하는 문제에 접근할 수 있습니다.

피타고라스 음계의 핵심은 ‘도’에서 시작하여 진동수를 배로 하면 5도 높은 음 ‘솔’을 얻을 수 있고, 진동수를 본래의 2배로 하면 한 옥타브 높은 음 ‘도’를 얻을 수 있다는 것입니다. 이 말은 역으로, 진동수를 본래의 배로 하면 5도 낮은 음을 얻을 수 있고, 진동수를 본래의 배로 하면 한 옥타브 낮은 음을 얻을 수 있음을 시사합니다. 이러한 방법으로 한 옥타브 안에서 피타고라스 음계를 다음과 같이 만들어 봅니다.

위에서 얻어진 ‘솔’에 다시 진동수를 배 하면 그보다 5도 높은 ‘레’가 얻어집니다. 그런데 이 ‘레’는 한 옥타브 높은 음이므로 1/2배 하여 한 옥타브를 내리면 ‘레’ 가 얻어 집니다.

위와 같은 방법으로 5도를 올리거나 내리고, 옥타브를 올리거나 내리는 방법을 통해 얻어진 음계를 피타고라스 음계라고 합니다.

[질문2] 위에서 ㉠, ㉡, ㉢, ㉣의 음을 얻기 위해 진동수를 어떻게 조정해야 합니까?

피타고라스 음계는 다음과 같이 5도 사이에 3/2을 곱한 수열로 이루어지게 됩니다.

[질문3] 한 옥타브 안에서 낮은 ‘도’에서 높은 ‘도’까지 8음을 얻기 위해 진동수를 어떻게 조정해야 합니까?

다음은 6·25전쟁 때 작곡자가 전투가 치열했던 강원 철원 부근에서 군 생활을 하면서, 숱하게 널려 있는 시체들과 이름 없는 비목을 보았던 기억이 되살아나 작곡한 것이라고 하는 가곡 ‘비목’의 일부분입니다.

[질문4] 위 두 마디 안의 기본 3화음을 찾아 계이름을 쓰고 피타고라스 음계 내에서 각 화음의 진동수 비를 구하시오.

피타고라스 음계는 완전 5도 관계의 화음에서는 가장 뛰어난 협화음을 들려주기 때문에 중세시대 이전까지는 약간의 변형만 주어 그대로 사용하였습니다. 그러나 다양한 음을 요구하게 되면서 불협화음이 생겨나는 피타고라스 음계는 한계에 도달하게 됩니다.

피타고라스 음계는 서양 음계의 기초를 이룹니다. 하지만 순정률은 얻을 수 없었습니다. 순정률은 기본 3화음인 ‘도-미-솔, 파-라-도, 솔-시-레’의 진동수의 비가 연속하는 정수비가 되도록 조율한 8도 음계로 이루어진 것입니다. 순정률과 피타고라스 음계의 가장 큰 차이점은 피타고라스 음계는 완전 5도 음정에 대해서는 협화음을 들려주지만 나머지 음정에 대해서는 완전히 연속하는 정수비의 음정이 나오지 않기 때문에 기본 3화음에서도 불협화음 구성을 보이게 된다는 것입니다.

순정률의 진동수 비율은 오른쪽과 같습니다.

다음은 1847년 미국 피츠버그에서 청년 클럽을 위해 작곡하였다는 포스터의 ‘오! 수재너’의 일부분입니다.

[질문5] 순정률 내에서 ‘오! 수재너’ 화음의 진동수 비에는

어떤 공통점이 있습니다. 그 공통점을 찾아 보시오.