[理知논술/중학생 통합교과 논술]게임 법칙 관련 수리논술

입력 2006년 12월 19일 02시 57분

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■카드 바둑 장기 ‘두뇌게임’은 논리적 사고와 확률의 싸움

수학이나 통계를 잘하는 사람들이 주사위 놀이나 카드를 이용한 여러 게임이나 바둑, 장기 같은 놀이에 강하다는 이야기를 곧잘 하곤 한다. 그러한 게임에서는 물론 운도 따라야 하지만 논리적으로 생각하고 판단하는 것이 그 게임을 유리하게 이끄는 데에 매우 큰 요인으로 작용하기 때문일 것이다. 최근에 인기를 끌었던 영화 ‘타짜’에서처럼 경우의 수를 계산하고 그것으로부터 자신에게 유리한 확률을 생각하는 것은 게임에서 승리하기 위한 가장 기본적이면서도 중요한 방법 중 하나일 것이다.

게임을 승리로 이끄는 방법은 단지 우리가 흔히 게임이라고 부르는 놀이들에만 적용되는 것이 아니다. 일상생활 속에서도 유사한 경우들을 쉽게 만날 수 있다. 예를 들어, 어느 상점에서 물건을 1개에 또는 2개에 또는 10개에 얼마씩 판다고 하자. 이때 그저 가격만 싼 것을 선택하는 것이 아니다. 물건의 용도, 1개 사용하는 데 필요한 시간, 유통기한 등을 고려하여 자신에게 유리하다고 생각되지 않으면 구입하지 않고, 또 구입한다고 해도 필요로 하는 개수에 맞추어 사는 것이 가장 현명할 것이다. 이처럼 물건을 파는 상인과 물건을 사는 고객과의 관계에서도, 그리고 이러한 경제생활을 비롯한 여러 인간관계에 있어서도 게임 법칙에 관련한 논리적인 사고가 숨어 있음을 알 수 있다.

게임 법칙은 일상생활과 밀접하게 관련되어 있으면서도 수리 과학적으로 사고하고 판단할 수 있기 때문에 이해를 하면 할수록 다양한 경제생활과 현명한 인간관계를 잘 유지할 수 있다. 이번 호에서는 게임 법칙과 관련된 수리논술 문제를 살펴본다.

[문제 1]

파스칼이 생전에 사귄 친구 중에는 도박사 드 메레가 있었다. 이 도박사는 도박에 수학적 계산을 적용하여 상당한 이익을 보았는데 그가 어느 날 도박에 관해 궁금한 점을 파스칼에게 편지로 물어왔다.

“솜씨가 비슷한 A, B 두 사람이 32피스톨(옛날 스페인 금화의 단위)씩을 걸고 내기를 하고 있네. 승부에서 한 번 이기면 1점을 얻고, 먼저 3점을 얻은 사람이 내기 돈 64피스톨을 몽땅 갖기로 했는데 A가 2점, B가 1점을 딴 시점에서 어떤 사정으로 부득이 내기를 중단하게 되었다면 64피스톨을 어떻게 분배하는 것이 가장 합리적일까?”

이 편지가 현재 확률론의 시초가 되었다고 하는데, 어떻게 분배하는 것이 합리적인지 생각을 서술해 보아라.

[풀이 해설 및 정답]

우선 A가 게임에서 이길 확률을 계산해 보자. 바로 다음 승부에서 이길 확률이 1/2이고 다음 승부에서 지고 그 다음에 이길 확률은 1/2×1/2=1/4이다. 결국 A가 이 게임에서 이길 확률은 1/2+1/4=3/4이다.

이제 B가 이길 확률을 계산하면, 연이어 두 번을 이겨야 하므로 1/2×1/2=1/4이다. 그러므로 A에게는 64×3/4=48피스톨로, B에게는 64×1/4=16피스톨로 분배하는 것이 옳다.

[문제 2]

이번 경마 대회에서는 단 네 마리의 말이 달리는 경주가 있었다. 관중들은 네 마리 말 중에서 1등으로 들어오는 말 한 마리만 맞히면 된다. 배당표에 나오는 5 → 2는 ‘샛별’에 2만 원을 걸었을 때, 그 말이 1등을 하면 건 돈 2만 원을 돌려받고 5만 원을 배당금으로 받게 된다는 뜻이다. 그런데 이 배당표를 보면 어떤 말이 1등을 하든 10만 원을 딸 수 있는 방법을 알아낼 수 있다. 어떻게 걸면 될까?

말	배당률
새 벽	2 → 1
샛 별	5 → 2
번 개	6 → 1
소나기	6 → 1

[풀이 해설 및 정답]

새벽에 x만 원을, 샛별에 2y만 원을, 번개에 z만 원을, 소나기에 w만 원을 걸었다고 하자. 그렇게 걸었을 때, 새벽이 1등을 하였을 때, x만 원을 돌려받고, 2x만 원을 딴다. 샛별이 1등을 하였을 때는, 2y만 원을 돌려받고, 5y만 원을 배당금으로 받는다. 번개가 1등을 했을 때는, z만 원을 돌려받고, 6z만 원을 배당금으로 받고, 소나기가 1등을 했을 때는, w만 원을 돌려받고, 6w만 원을 배당금으로 받는다. 그렇게 해서 돌려받는 돈이 각각의 경우에 10만 원이 된다면, 다음과 같은 네 개의 정수방정식을 얻는다.

2x―2y―z―w=10

―x+5y―z―w=10

―x―2y+6z―w=10

―x―2y―z+6w=10

그러면 x=35, y=15, z=15, w=15임을 얻을 수 있고, 총 95만 원을 새벽에게 35만 원, 샛별에게 30만 원, 번개에 15만 원, 소나기에 15만 원을 걸면, 어떠한 경우라도, 105만 원을 돌려받게 되므로, 10만 원을 따게 됨을 알 수 있다.

[문제 3]

두 사람이 500원씩 걸고 간단한 입찰 경매를 한다. 각자가 써낸 액수를 동시에 공개해서 더 높은 액수를 쓴 사람이 건 돈을 갖고, 대신에 진 사람에게는 진 사람이 써 낸 액수만큼을 주어야 한다. 물론 같은 액수를 써 냈다면 그냥 500원씩 나누어 가진다.

여기에서, 얼마를 입찰 금액으로 쓰는 것이 유리한가? (단, 입찰가의 단위는 100원)

[풀이 해설 및 정답]

다음의 표는 100원부터 700원까지의 입찰가격에 따른 손익계산을 나타낸 것이다.

상대 나	100	200	300	400	500	600	700
100	0	―400	―400	―400	―400	―400	―400
200	400	0	―300	―300	―300	―300	―300
300	400	300	0	―200	―200	―200	―200
400	400	300	200	0	―100	―100	―100
500	400	300	200	100	0	0	0
600	400	300	200	100	0	0	100
700	400	300	200	100	0	―100	0

표에서 보는 바와 같이, 입찰가가 600원일 때가 가장 유리함을 볼 수 있다.

[문제4]

어느 선생님은 OX 시험 문제를 출제할 때 버릇이 있다. OX 문제의 경우 항상 O쪽의 정답이 많게 출제하고, 같은 답(O뿐이든가, X뿐이든가)이 3개 이상 계속되는 일도 없다. 만일 이 선생님이 다섯 개의 OX 문제를 출제하고 당신은 정답을 전혀 모른다고 할 때(완전히 찍어야 할 때를 의미), 어떤 답안지가 제일 유리할까?

[풀이 해설 및 정답]

정답: OOXOO

선생님의 버릇을 고려할 때 나올 수 있는 정답표는 다음의 8가지가 전부이다.