[理知논술/대입 통합교과 논술]수리논술<6>프랙털 도형

제시된 그림이 프랙털 도형이 아님을 설명하시오

※다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가) 프랙털(fractal)에 대해 처음으로 연구를 시작한 만델브로(Mandelbrot)는 “구름은 구가 아니고, 산은 원추가 아니며, 번개는 직선으로 내리치지 않는다. 새로운 기하학은 둥글둥글하지 않고 우툴두툴한, 또 매끄럽지 않고 거칠거칠한 우주를 반영한다. 그것은 구멍이 많고 움푹 파이고 잘리고 꼬이고 서로 엉켜있는 기하학이다”라고 하였다. 즉, 자연의 복잡성을 이해하기 위해서는 그 복잡성이 그저 임의적이거나 우발적인 것은 아니며, 자연 속에서의 여러 가지 기묘한 현상들이 나름대로의 의미를 지닌다는 것이다. 다시 말해 만텔브로는 유클리드 기하학으로는 자연의 형태 속에 있는 울퉁불퉁함을 잘 설명할 수 없으나 프랙털 이론은 그러한 울퉁불퉁한 정도를 잘 측정할 수 있는 수단을 제공해 준다고 주장했다.

실제로 프랙털이 출현한 것은 1800년대로 거슬러 올라간다. 1872년에 칸토어(Cantor)가 칸토어의 집합을, 1906년에 코흐(Koch)가 코흐의 눈송이를 발견했으며, 1916년에는 시어핀스키(Sierpinsky)가 시어핀스키 삼각형을 발견했다. 그 당시에는 이러한 것들을 병적인 대상으로 취급하였다. 그러나 오늘날 프랙털은 물리, 생물, 의학, 화학, 지진학, 음악, 예술 에 대한 응용에 이르기까지 현실에서 여러 가지 방법으로 나타나며, 카오스의 발달과 함께 현대 과학과 수학에서 중요한 연구 분야가 되고 있다.

(나) 프랙털 모양은 첫째 무한하게 세분되고, 둘째 무한한 길이를 가지고 셋째 정수뿐만 아니라 소수 차원을 가지며, 넷째 규모가 작아지는 방향으로 스스로 닮아가는(자기 유사성) 특징을 갖는다.

자기 유사성이란 도형의 일부분을 확대했을 때, 다시 전체의 모습이 되는 성질을 말한다. 이러한 자기유사성이 프랙털의 특징이기는 하지만 구조가 자기유사성을 가진다고 해서 반드시 프랙털이 되는 것은 아니다.

유클리드 기하학의 세계에서는 사물이 정수로 표시되는 차원을 가진다. 구면이나 정육면체나 그 밖의 입체들은 3차원이고, 정사각형이나 그 밖의 평면도형들은 2차원이며, 직선과 곡선은 1차원이고, 점들은 0차원이다. 그러나 프랙털 곡선은 얼마나 많이 움직이느냐에 따라 1차원과 2차원 사이의 어느 차원이나 될 수 있다. 곡선이 직선과 유사할수록 더 매끄럽고 프랙털 차원은 1에 가까워진다. 거칠게 움직여 거의 평면을 채워가는 곡선은 2에 가까운 프랙털 차원을 가진다. 일반적으로 프랙털 기하는 정수 차원 사이의 공간을 채우고 있다.

그래서 프랙털 차원은 자연 속의 불규칙하고 복잡한 물체나 도형을 상대적으로 비교하고 모델링하는 수단이 된다. 일반적으로 프랙털 차원은 다음과 같이 정의한다.

N은 프랙털 조각의 개수, D는 프랙털 차원, r는 축소율을 나타낼 때,

프랙털 모양의 가장 대표적인 코흐의 눈송이 곡선을 살펴보자.

그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정삼각형에서 한 변의 중앙에 있는 1/3부분을 제거한 다음, 그 부분에 길이가 1/3인 두 변을 꼭지점이 바깥쪽을 향하도록 연결하여 별 모양으로 만드는 작업을 무한히 반복하여 얻어지는 도형을 코흐의 눈송이 곡선이라고 부른다.

2단계의 위쪽에 있는 에서 3단계로 변화되는 작업을 살펴보면 의 모양이 1/3의 크기로 규모가 작아지면서 4개의 프랙털 조각이 생기는 것을 알 수 있다. 그러므로 r=1/3이고 N=4이고, 코흐의 눈송이 곡선의 차원은 log4/log3이다.

(다) 정사각형의 부피를 측정하면, 두께가 없으므로 0이다. 마찬가지로 선분은 폭이 없는 것이니까 면적은 0이 나온다. 또한 우리가 일상생활에서 사용하는 줄자를 이용하여 구의 둘레를 측정한다면 무수히 많은 원의 둘레를 구하는 것과 같으므로 무한대(∞)가 나온다. 이와 같이 어떤 도형의 크기를 측정할 때에는 그 도형에 적합한 차원을 가진 자를 사용해야 한다. 잘못된 자를 사용하면 아무리 정확히 잰다고 해도 0이나 ∞ 등의 엉뚱한 값밖에는 나오지 않는다. 즉, 측정하고자 하는 도형보다 차원이 높은 ‘자’(척도)를 사용하여 측정하면 측정값은 당연히 0이 나오고, 차원이 낮은 자를 사용하면 ∞가 나온다.

[논제 1] 오른쪽에 나오는 도형은 다음과 같이 만들어졌다. 먼저 직각이등변삼각형의 두 변을 이등분한다. 그리하여 나눈 변의 위쪽 반을 각각 밑변을 향해 꺾어 내린다. 이때 작은 두 개의 이등변삼각형이 생긴다. 이와 같은 조작을 새로 생긴 이등변삼각형에 대해서도 똑같이 실시한다. 그러면 4개의 더 작은 이등변삼각형이 생긴다. 이 조작을 무한히 반복한다.

소연이는 이 도형을 보고 처음에는 이 도형이 자기 유사성을 갖고 있으므로 프랙털 도형이라고 생각했다. 그러나 곧 이 도형은 자기 유사성은 갖고 있지만 다른 프랙털 도형이 갖는 특징을 갖지 않으므로 프랙털 도형이 아니라는 사실을 알게 되었다. 위 제시문 (나)를 참고로 하여 이 도형이 프랙털 도형이 아님을 논리적으로 설명하시오.

[논제 2] 시어핀스키 삼각형은 1916년 폴란드의 유명한 수학자 시어핀스키에 의해서 처음 소개되었으며 프랙털의 대표적인 모양이다. 시어핀스키 삼각형의 생성과정은 다음과 같다.

① 정삼각형을 하나 그린다.

② 각 변의 중점을 연결한 후 나누어진 삼각형 중 가운데 부분을 잘라낸다.

③ 남아 있는 삼각형에 대하여 같은 조작을 한다.

이 과정을 무한히 반복했을 때 나타나는 평면 위의 점들의 집합이 바로 시어핀스키 삼각형이다. 시어핀스키 삼각형의 0단계부터 5단계를 나타내면 다음 그림과 같다.

위 제시문 (나)에 주어진 프랙털 도형의 특징을 참고하여 시어핀스키 삼각형의 프랙털적 도형으로서의 특징을 논리적으로 설명하시오.