[理知논술/중학 교과원리]수학-과학

■수학 - 근사값의 활용

중학교 2학년 수학 과정부터 ‘근사값’이라는 단원이 등장한다.

근사값은 증명과 정확한 답을 요구하는 수학과 다소 거리가 있다고 생각될 수도 있지만 반대로 복잡한 수들을 좀더 간편하게 정리해줘 실생활에서 유용하게 사용되도록 한다고 볼 수도 있다. 신문이나 뉴스의 통계자료 부분 등 실생활에서 사용하는 거의 대부분의 수치가 근사값이다.

학교에서 배우는 근사값은 워낙 공식이 많아서 암기할 것도 많고 딱딱하게 느껴지지만, 실제로 근사값을 공부해 보면 실생활에서 아주 유용하게 사용됨을 알 수 있다.

근사값의 정의

참값에 가까운 값으로 참값은 아니면서 적당한 오차(근사값―참값)를 가진 값을 근사값이라고 한다.

예를 들어 “나는 매일 우유를 200mL씩 마신다” “서울에서 부산까지의 거리는 약 410km다”는 모두 측정값으로 근사값이다.

“1m는 100cm다” “우리반 학생은 35명이다”는 참값이다. 문장만 읽어 보아도 근사값과 참값이 어떻게 다른지 알 수 있을 것이다.

근사값은 측정해서 얻어진 값이 대부분이기 때문에 우리는 어떤 값이 더 합리적인 근사값인지 알아보기 위해 오차라는 것을 둔다. 근사값에서 참값을 빼 보면서 오차를 구할 수 있고 이 오차는 양수, 음수, 0이 나올 수가 있으며, 오차의 절대값이 작을수록 근사값은 참값에 가깝게 된다.

근사값을 왜 배울까?

만약 근사값을 사용하지 않는다면 어떤 일이 생기게 될까?

내가 몸무게를 쟀더니 53.1kg이었다. 이 값을 보면 아마도 내 몸무게를 측정한 저울은 0.1kg의 최소 눈금을 가진 저울로 쟀다는 것을 알 수 있을 것이다. 보통 몸무게를 재는 저울을 보면 이 최소 눈금을 가지는 저울이 많은데 더 정밀하게 측정할 수 있는 저울을 만들지 왜 이 정도의 값만 알 수 있는 저울을 만들어놓은 것일까?

좀더 정밀한 저울로 몸무게를 쟀다고 생각해 보자.

운동을 하기 전 몸무게를 달아보았더니 53.1231kg이라는 측정값을 얻었고, 운동을 한 후 땀을 많이 흘렸더니 이젠 53.0015kg이라는 값이 나왔다. 반대로 물을 많이 마시고 몸무게를 잰다면 또 몸무게가 아주 조금 올라간 값으로 측정이 될 것이다.

즉, 물은 좀 많이 마시고 재거나, 운동을 한 후 땀을 많이 흘렸을 때 측정한 값이라면 몸무게를 재는 데 소수점 이하는 별 의미 없는 값임을 알 수 있다. 그래서 우리는 어느 정도인지 알 수 있는 범위 내에서 반올림한 값을 사용하는 것이 보통이고, 이런 경우 근사값은 생활에서 꼭 필요한 값이 되는 것이다.

여러 가지 문제에서 정확도는 각각 다르게 선택이 된다. 도로의 길이를 잴 때와 옷을 맞추기 위해서 천의 길이를 잴 때, 각각의 오차는 많은 차이를 보일 것이고, 우리가 무심코 보는 시계의 시간과 과학자들이 측정해야 하는 시간은 그 정확도에서 큰 차이를 보일 것이다.

얼마만큼 더 참값에 가까운 정확한 값을 측정하느냐가 문제이겠지만 어쨌든 근사값은 모든 생활 속에서 유용하게 이용이 되고 있는 수학의 한 부분이다.

강현정 엠베스트 교육㈜ 수학강사

◇풀어서 보내요

나는 친구와 함께 고대 선사 유적지에 갔다. 다음 대화를 읽고 유적지의 안내인의 설명에 우리는 왜 아무런

말을 할 수 없었는지 구체적인 부분을 지적하여 설명해 보자.

―나: 이 도자기는 언제 만들어졌나요?

―안내인: 지금으로부터 정확히 5004년 전에 만들어진 것이랍니다.^^

―친구: 우와∼ 어떻게 그렇게 정확한 연도를 알 수 있나요?

―안내인: 제가 바로 4년 전에 이곳의 안내인이 됐는데 그때는 이 도자기가 5000년 전의 것이라고 했답니다.

지금은 4년이 지났으니 당연히 5004년 전의 것이 되었겠지요?

―나와 친구: ….

■ 과학 - 발열반응과 흡열반응

손난로와 부탄가스통 & 스프레이

물질이 액체에서 고체나 기체로 변하면서 열을 발생하거나 흡수하는 현상이 발생한다. 이를 상태변화에 따른 발열반응과 흡열반응이라고 한다.

겨울철에 이용하는 ‘손난로’를 예로 들어보자.

이 손난로 속에는 ‘티오황산나트륨’이라는 성분이 물에 용해된 액체 상태로 있다가 고체로 하얗게 변하면서 열을 낸다. 고체가 되면서 알갱이들 사이가 가까워지면서 알갱이들이 운동을 자제하고, 축적된 열을 내보내면서 열에너지가 발생하는 것이다. ‘티오황산나트륨’은 Na2S2O3으로 ‘하이포’라고도 한다.

손난로뿐 아니라 온찜질팩 속에도 하이포가 들어 있는데 그것도 역시 물질이 액체에서 고체로 변하면서, 즉 응고하면서 열을 방출한다. 이처럼 물질이 바뀌면서 열을 방출하는 것은 ‘발열반응’이라고 한다.

반대로 열을 흡수하면서 시원해지는 경우도 있다.

부탄가스통에서 통속의 높은 압력에서 액체상태이던 부탄이 밖으로 뿜어져 나오면서 기체로 변한다. 이때는 물질을 이루는 알갱이들의 운동이 활발해지고, 따라서 에너지가 필요하기 때문에 주변의 열에너지를 흡수한다. 그 결과 부탄가스통이 차가워지게 되는데 이 반응을 과학에선 ‘흡열반응’이라고 한다.

휴대용 가스레인지에서 부탄가스로 고기를 구워 먹은 후 불을 끄고 나면 가스통이 차가워진 것을 느낄 수 있다.

공기 중에 수증기가 많은 여름에는 이렇게 차가워진 부탄가스통에 물방울이 맺히는 것도 볼 수 있다. 부탄이 액체에서 기체로 변화하면서 열을 흡수해 부탄통이 차가워지고, 공기 중의 수증기가 부탄가스통 표면에서 액화(기체→액체)된 것이다.

*발열반응: 입자 사이가 점점 가까워지고 움직임이 둔해지는 상태변화

기체→액체→ 고체(열을 방출)

*흡열반응: 입자 사이가 점점 멀어지고 움직임이 활발해지는 상태변화

고체→액체→기체(열을 흡수)

이는 헤어스프레이, 에프킬러 등 여러 스프레이 제품에서도 확인할 수 있다.

스프레이 통속의 높은 압력 때문에 액체상태로 들어있던 충전가스가 기체로 뿜어져 나오면서 주변의 열을 흡수하게 되어 차가워지는 것이다. 스프레이로 실험을 할 경우 불에 닿지 않도록 특히 조심해야 한다.

예전에는 스프레이의 충전가스로 프레온가스를 사용했지만, 오존층 파괴와 온실효과 때문에 최근에는 액화석유가스(LPG)를 충전가스로 사용하고 있다.

LPG는 ‘프로판+부탄’으로 불이 붙는 기체, 즉 가연성 기체이므로 사용에 매우 주의해야 한다.

2003년에 개봉한 영화 ‘페이첵(Paycheck)’에서는 배우 벤 에플렉이 스프레이를 이용해 위험을 벗어나는 장면이 나온다. 전혀 무기가 없는 상태에서 스프레이를 분사하면서 불을 붙여 위험에서 벗어난 것이다. 스프레이의 충전가스인 LPG를 역이용했다고 볼 수 있다.

이처럼 생활 속을 꼼꼼히 들여다보면 우리가 무심코 지나치던 과학원리를 접할 수 있다.

생활에서 접할 수 있는 과학원리를 통해 과학에 대한 흥미를 길러보자.

최은정 엠베스트 교육㈜ 과학강사

◇풀어서 보내요

우리가 생활 속에서 발견할 수 있는 상태변화에는 어떤 것들이 있는가? 열의 출입관계도 같이 서술하시오.

◇이 사이트로 보내세요

위에 있는 ‘풀어서 보내요’ 문제에 대한 답을 다음 주 월요일까지 보내 주세요. 잘된 답 가운데 일부를 선정해 선물을 보내 드립니다.

글 보내실 곳: www.easynonsul.com → 중학논술 →교과원리→해당 과목(www.easynonsul.com/Middle/Lecture/)