[신나는 공부]공부의 기술<4>정의-개념으로 돌아가라!

《중간고사가 얼마 남지 않았다. ‘개념을 공부해도 왜 수학문제가 안 풀리는지 모르겠다’고 고민하는 중고생이 하나 둘이 아니다. 당신은 중위권 중학생인가? 수학문제 풀이, 비법이 있다.

기자가 ‘학생’이 되어, 수학문제 풀이의 ‘대가’로부터 직접 배워봤다. 듣기만 해도 골치 아픈, 중학교 3학년 2학기 수학교과서에 나오는 ‘피타고라스의 정리’. 멘터로 나선 사람은 수험생 커뮤니티 ‘수만휘’에서 활동 중인 연세대 의대 본과 2학년 김영인 씨(사진·23)다.》

“중요한 정의는 아예 외우세요!”

기자: 피타고라스의 정리가 쉬운 듯 하면서도 잘 이해 되지 않아요.

영인: 그런가요? 피타고라스의 정리에 대해 개념부터 적용까지 차근차근 알아볼까요? 먼저 교과서에 서 제시하는 학습목표가 뭐죠?

기자: 음. 학습목표요? 그게 중요한가요? 뻔한 소리만 하는 게 학습목표 아닌가요?

영인: 학습목표는 공부방향을 제시해주는 표지판이에 요. 또 문제를 빨리 정확히 푸는 열쇠가 되죠.

기자: 아. 학습목표가 여러 개 있네요. 일단 처음 것부 터 읽을게요. ‘피타고라스의 정리가 무엇인지 알 수 있다’라고 나오네요.

영인: 네. 피타고라스의 정리가 무엇인지 아는 게 중요 해요. 뭐라고 설명되어 있죠?

기자: 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a, b라 하고 빗변의 길이를 c라 하면 ‘a의 제곱+ b의 제곱=c의 제곱’이라고 되어 있어요.

영인: 수학적 정의를 정확히 알고 있어야 해요. 수업시 간에 한번 듣고 넘기지 말고 정의나 공식은 반드 시 외우는 게 좋아요. 자, 그럼 그 정의를 문제를 통해 확인해볼까요?

정의에서 보듯 피타고라스의 정리를 활용하기 위 해서는 직각삼각형을 찾아야겠죠? 그림에서 직 각삼각형이 주어져 있기 때문에 쉽게 풀 수 있는 문제죠. ‘빗변 BC의 제곱=밑변 AB의 제곱+높 이 CA의 제곱’이라는 정의를 적용해 보세요.

기자: 밑변이 4고 높이는 x, 빗변은 5니까 5²=4²+x²예 요. 정리하면 x²=25-16=9이고 9는 3의 제곱이 니까 x=3이겠네요.

영인: 맞았어요. 직각삼각형을 찾은 후에 밑변, 높이, 빗변을 어떻게 설정하느냐가 핵심이죠.

기자: 이건 쉽죠. 하지만 문제가 약간만 어려워져도 잘 못 풀게 돼요.

“학습목표를 알면 답이 보여요!”

영인: 피타고라스의 정리라는 개념을 대충 이해하고 넘 어가서 어떤 식으로 적용할지 모르는 거예요. 좀 더 응용된 문제를 풀어볼까요?

기자: 아, 이건 입체도형이네요. 문제를 보는 순간 당황 스러워지네요. 어려워요.

영인: 얼핏 보기엔 그렇죠. 하지만 개념을 알고 차근차 근 접근하면 문제가 생각보다 쉽게 풀려요. 다시 한 번 개념으로 돌아가세요. 피타고라스의 정리 가 성립하기 위한 조건이 뭐였죠?

기자: 글쎄요. 일단 직각삼각형이 있어야겠죠?

영인: 맞아요. 피타고라스의 정리에서 중요한 점은 ‘직 각’이라는 조건예요. 문제의 마지막 부분에서 ∠BFO=90°라고 되어 있으므로, 삼각형 BOH 의 넓이를 구할 수 있어요. 이를 위해선 뭐가 필 요한가요?

기자: 삼각형의 넓이는 ‘밑변×높이×1/2’이니까 밑변 과 높이가 있어야죠.

영인: 삼각형 BOH에서 높이와 밑변은 얼마죠?

기자: 직육면체니까 선분 BF와 선분 DH의 길이가 같아 서 높이는 10cm이겠죠. 밑변은 선분 OH의 길이 예요. 음. 이건 주어져 있지 않네요.

영인: 그렇다면 선분 OH의 길이만 구하면 원하는 넓이 를 얻을 수 있겠네요. 최대한 선분 OH와 연관 있 는 직각삼각형을 찾아볼까요?

기자: 선분 OH가 직접 포함된 직각삼각형은 없네요. 그런데 선분 OH를 포함하는 선분 FH가 포함된 삼각형 FHG가 직각삼각형이네요.

영인: 잘 찾았어요. 이런 식으로 우리가 구하고자 하는 값과 직각삼각형을 연결시키니까 피타고라스의 정리를 사용할 상황이 만들어졌어요. 이제 피타 고라스의 정리를 사용해서 선분 FH의 길이를 구 해볼까요?

기자: 빗변을 구하고 싶으니까, 미지수를 x라고 놓으면 x²=6²+8²이네요. x²=100이니까 x는 10이예요.

영인: 그럼 선분 OH의 길이는 어떻게 구하죠?

기자: 밑면이 직사각형이니까 대각선은 서로를 반으로 나누잖아요. 선분 OH는 선분 FH의 절반이므로 5죠. 그렇다면 삼각형 BOH의 밑변은 5고 높이 는 10이니까 넓이는 10×5×1/2=25㎠에요.

영인: 바로 그거에요. 어려워 보이는 문제라도 개념을 하나씩 적용해 가면 쉽게 풀 수 있어요. 해설지를 보면 쉽다고 느끼는 이유가 그것이죠. 수학공부 를 할 땐 학습목표에서 제시하는 방향을 기준으 로 해 문제를 풀어가는 연습을 하는 게 중요해요.

박은정 기자 ejpark@donga.com