[理知논술/날아오르는 창의사고력]‘셈하다’ 의미하는 calculus

‘셈하다’ 의미하는 calculus 원래 뜻은 ‘작은 돌’… 어째서 그럴까요

수학자 러셀(1872∼1970)은 “인류가 닭 2마리의 2와 숫자 2의 2를 같은 것으로 이해하기까지는 수천 년의 시간이 걸렸다”고 말했다. 그럼에도 불구하고 어린 아이들이 손가락을 구부리며 수를 헤아리는 모습은 너무나 자연스럽다. 이런 자연스러움에서부터 수의 개념이 시작되었고, 수 개념을 좀 더 확장된 수 체계로 넓히기 위해 ‘연산’을 정의하게 되었다.

수학은 문명이 생긴 이래 인류와 함께 발전돼 왔다. 수학의 역사는 곧 인류의 역사와 함께했다 해도 과언이 아니다. 인류는 논리적이고 수학적인 사고를 통해 문명을 발달시켰고 개척해 왔다. 오래전 사람들은 하나와 둘 외의 수는 단지 “많다”라고 했다. 그러나 기르는 가축 수가 늘면서 나무에 눈금을 새기기 시작했다. 이집트인은 물건의 개수를 셀 때 조약돌을 사용하여 물건 하나에 돌 하나씩을 묶어 셈을 하는 방법을 사용하였다. 그래서 ‘셈’이라는 뜻을 지닌 영어 단어 ‘tally’는 ‘(나무에 눈금을) 새기다’의 뜻인 ‘talea’에서, ‘셈하다’라는 뜻의 영어 단어 ‘calculus’는 ‘작은 돌’이란 뜻에서 나온 것이다.

또 수의 개념이 확장되고 연산을 하게 되면서 사람들은 손을 사용하여 셈을 하기 시작하였는데, 10개인 손가락을 자연스레 사용함에 따라 십진법이 현재 우리에게 가장 익숙하게 되었다.

고대 그리스와 인도에서는 수를 문자로 표현하고 연산도 사용하게 되었다. 이에 따라 덧셈은 수를 나란히 쓰고, 뺄셈은 수를 띄어쓰기하여 표현하였다. 하지만 이런 방식은 두 자릿수와의 혼동을 일으킨 데다 연산을 하기에 불편한 문자들은 쇠퇴해 버리는 문제가 발생했다.

처음 만들어진 연산 기호 역시 현재 우리가 사용하는 것과 모양이 달랐다. 고대에 사용되었던 수의 연산을 접해 보자. 그럼으로써 당시 수학에는 어떤 불편함이 있었는지 알아보고 연산 속에 어떤 원리가 숨어 있는지 생각해 보자.

김형진 영재사관학원·수학영재만들기 대표원장

재미있게 생긴 로마숫자… DLXXⅡ+CCCLIV는 얼마일까요

문제[1]

오래전 프랑스 오베르뉴 지방의 농민들은 우리가 알고 있는 구구단에서 5단까지만 알고, 그 보다 큰 곱셈은 몰랐다고 합니다. 따라서 5보다 큰 곱셈을 할 때에는 손가락을 이용하여 곱셈을 하였습니다. 예를 들어 8×9의 계산 방법은 다음과 같습니다.

① 두 수 8, 9에서 각각 5를 빼줍니다. → 8-5=3, 9-5=4

② 각각 5를 빼고 남은 수만큼 오른손과 왼손의 손가락을 다음과 같이 접습니다.

왼손은 손가락 세 개가 접혔고, 두 개가 펼쳐져 있습니다. 오른손은 손가락 네 개가 접혔고, 한 개가 펼쳐져 있습니다.

③ 접혀진 손가락의 합 3+4=7은 십의 자리, 펼쳐진 손가락의 곱 2×1=2는 일의 자리로 쓰면 답은 72입니다.

이제 7×8, 6×7의 계산도 손가락을 이용하여 해 보시오. 곱셈의 결과는 옳습니까? 프랑스 농민들의 계산 방법은 정말 옳은지 생각해 보시오.

■선생님의 도움

① 계획하기

⑴ 7×8의 7과 8에서 5를 빼면 7-5=2, 8-5=3입니다.

→ 왼손은 두 개의 손가락이 접히고, 세 개의 손가락이 펼쳐져 있습니다. 오른손은 세 개의 손가락이 접히고, 두 개의 손가락이 펼쳐져 있습니다.

⑵ 6×7의 6과 7에서 5를 빼면 6-5=1, 7-5=2입니다.

→ 왼손은 한 개의 손가락이 접히고, 네 개의 손가락이 펼쳐져 있습니다. 오른손은 두 개의 손가락이 접히고, 세 개의 손가락이 펼쳐져 있습니다.

② 실행하기

⑴ 십의 자리는 2+3=5, 일의 자리는 3×2=6이므로 7×8=56입니다.

⑵ 십의 자리는 1+2=3, 일의 자리는 4×3=12이므로 자리올림이 생겨서 6×7=42입니다.

원리를 생각해 봅시다.

5보다 큰 두 수를 a, b라 하면 손가락으로 접어야 하는 수는 (a-5), (b-5)이고, 펼쳐진 손가락은 5-(a-5)=10-a, 5-(b-5)=10-b입니다. 즉, 십의 자리는 (a-5)+(b-5)=a+b-10이고, 일의 자리는 (10-a)×(10-b)=100-10a-10b+ab입니다. 계산 결과는 다음과 같습니다.

(a+b-10)×10+(100-10a-10b+ab)

=10a+10b-100+100-10a-10b+ab

=ab

따라서 프랑스 농민들은 곱셈의 계산을 바르게 한 것입니다.

③ 반성하기

바르게 계산하였는지 확인합니다. 다른 두 수의 곱을 계산해 봅니다.

문제[2]

세계 문명의 4대 발상지는 이집트의 나일 강 유역, 메소포타미아의 티그리스 강. 유프라테스 강 유역, 인도의 인더스 강 유역, 그리고 중국의 황하 유역입니다. 그중에서 메소포타미아는 세계 최초로 농업이 시작된 곳일 뿐만 아니라 아마도 세계에서 문명이 가장 일찍, 가장 잘 발달했던 곳일 것입니다. 따라서 역사상 처음으로 나타난 숫자가 메소포타미아의 것이었다는 사실은 너무도 당연합니다. 고대 메소포타미아의 문자는 진흙으로 만든 판자 위에 쐐기 모양을 새겨서 썼기 때문에 ‘쐐기문자’라고 부릅니다. 쐐기 문자는 소뿔 모양을 본떠 만든 것으로 소를 세기 위한 수단으로 만들어졌습니다. 이를 통해 메소포타미아인은 소를 귀하게 여겼음을 알 수 있습니다. 쐐기 문자의 모양을 살펴보면 다음과 같습니다.

다음 주어진 쐐기 문자를 수로 나타내시오.

문제[3]

고대 마야의 숫자는 지금의 아라비아 숫자와 거의 비슷한 표기법이었습니다. 0에 대한 기호가 있었고, 숫자는 점과 선으로 표현하였습니다. 1은 점 한 개, 5는 선 한 개로 나타내어 숫자를 만들었으며 점 5개가 모이면 선 1개가 됩니다. 다음 그림은 마야 숫자의 체계입니다.

마야의 수의 각 자리는 아래의 숫자부터 1의 자리, 20의 자리, 360의 자리, …입니다. 1의 자리의 선 4개가 모이면 20의 자리의 점 1개가 되고, 20의 자리의 선 3개와 점 3개가 모이면 360의 자리의 점 1개가 됩니다. 예를 들어 149와 367을 마야 숫자로 표기하면 다음과 같습니다.

714와 498의 덧셈을 마야의 숫자로 표현하여 식을 쓰고, 마야 숫자로 답을 표기하시오.

문제[4]

로마 숫자는 기원전 500년경 발달하였습니다. 1을 뜻하는 Ⅰ은 한 개의 손가락을, 5를 나타내는 Ⅴ는 손을 폈을 때 엄지손가락과 집게손가락이 이루는 모양을, 10을 뜻하는 Ⅹ은 5를 나타내는 V를 두 개 합친 것 또는 막대기를 10개 묶은 모양에서 유래되었다고 추정하고 있습니다. 로마 숫자와 그 숫자가 나타내는 수는 다음과 같습니다.

4를 나타낼 때에는 5를 나타내는 Ⅴ의 왼쪽에 Ⅰ을, 6을 나타낼 때에는 5를 나타내는 Ⅴ의 오른쪽에 Ⅰ을 씁니다. 이것은 동일한 문자를 4개 이상 사용하지 않기 위해 왼쪽은 뺄셈, 오른쪽은 덧셈의 의미를 두었음을 엿볼 수 있습니다. 수를 직접 나타내어 보면 36은 ⅩⅩⅩⅥ, 99는 ⅩCIX과 같이 나타냅니다. 로마 숫자 체계를 생각하여 다음을 계산하여 로마 숫자로 나타내시오.

⑴ DLⅩⅩⅡ+CCCLIV

⑵ CDXCVI-CXXX

문제[5]

고대 이집트인들은 2를 계속 곱하는 방식으로 곱셈을 하였습니다. 예를 들면, 23×42를 계산해 보면 그림과 같습니다. 오른쪽 칸에 곱하는 수 42를 계속하여 두 배씩 쓰고 23은 16, 4, 2, 1의 합으로 나타낼 수 있으므로, 해당하는 수들을 합하여 42+84+168+672=966을 얻었습니다.

이집트인들이 했던 방법대로 다음 곱셈을 하시오.

⑴ 53×17

또 이집트인들의 곱셈 방법을 이용하여 ♣를 구하시오.

⑵ ♣×9=1125

[정답]

2. ⑴ 135738 ⑵ 822456

3.

4. ⑴ CMXXVI ⑵ CCCLXVI

5. ⑴ 901 ⑵ 125

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