[理知논술]논술에 강한 수학

가지고 있는 건 눈금자-컴퍼스뿐

임의의 곡선 길이 어떻게 측정?

[곡선의 길이 측정]

어떤 임의의 곡선이 주어져 있다. 이 곡선의 길이를 측정하기 위해 눈금 있는 자와 컴퍼스를 받았다. 어떻게 곡선의 길이를 측정하여야 할까?

예림이는 다음과 같은 방법을 사용했다. 컴퍼스의 길이를 2mm로 고정시킨 후 곡선의 시작점에서부터 호를 그려나가며 곡선과의 교차점의 개수를 세어 곡선의 길이를 측정한다. 과연 이 방법은 정확하다고 할 수 있을까?

이 질문은 답하기가 쉽다. 대부분의 학생이 이 방법이 부정확하다고 자신 있게 말할 것이다. 그러나 왜 그런지 이유를 설명하기란 쉽지 않다. 이를 설명하기 위해선 ‘거리’에 대한 정의가 필요하다. 우리는 초등학교, 중학교 때 ‘거리의 정의’에 대해 배운다. 그러나 학생들은 ‘거리의 정의’를 제대로 이해하지 못한 채 외우기만 한다. 두 점 사이의 길이란 두 점을 잇는 직선의 길이라고 암기해버리는 것이다. 사실, ‘거리의 정의’는 다음과 같다.

‘두 점 사이의 거리란 두 점을 잇는 여러 경로 중에서 최단 경로의 길이다.’

아마도 이 정의가 학생들이 기하학을 두려워하는 첫 번째 이유가 아닌가 싶다. 혹자는 ‘간단하게 직선 길이로 정의하면 될 것을 왜 저렇게 복잡하게 정의하는 거야!’라고 생각할지도 모른다.

각설하고, 다시 처음의 문제로 돌아가 보자. 곡선의 길이를 측정하기 위해서 길이를 고정한 컴퍼스를 사용하면 필연적으로 오차가 발생한다. 그 오차를 설명하기 위해서 거리의 정의가 필요한 것이다. 곡선의 양 끝점을 A, B라 하고 컴퍼스로 나눈 교차점을 각각 n1, n2, … nk라고 하자. 다음 그림은 A, n1, n2 부분을 확대한 것이다.

[해안선의 길이 측정]

만델브로트는 프렉털 이론의 창시자라고 할 수 있다. 그는 ‘프렉털(Fractal·차원 분열 도형)’이라는 말을 만들어 냈다. 처음 그의 논문이 네이처지에 실렸을 때는 그리 주목을 받지 못했다. 그러나 1970년대 후반 프렉털이 뜨거운 감자가 되자 과학자들은 부랴부랴 만델브로트의 논문을 뒤지는 해프닝을 벌였다.

그는 자신의 논문(‘The Fractal Geometry of Nature’)에서 심오한 의문을 제기한다. ‘영국의 해안선 길이는 얼마나 될까?’라는 것인데 이 난센스 같은 질문은 그 후 많은 논문의 지침이 됐다.

영국의 해안선 길이를 알기 위해서 위 지문의 내용을 생각해보자. 컴퍼스의 길이가 짧을수록 오차가 적어지는 점을 고려하면서 아래의 설명을 읽으면, 해안선의 길이를 측정하는 문제가 왜 이토록 복잡한지를 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

만델브로트가 제시한 영국의 해안선 길이가 얼마나 되는지 살펴보자. 다음 그림처럼 측정한 곡선의 길이가 정확해지려면 곡선이 연속적이고 매끄럽게 단위화되어 있어야 한다. 따라서 측정단위를 가능한 한 작게 해야만 기대하는 만큼의 정확한 답을 얻을 수 있게 된다.

측정단위	해안선의 길이
200마일	1,600마일
25마일	2,550마일

과연 이와 같은 논리가 영국의 해안선 길이를 측정하는 데 사용될 수 있을까? 25마일과 200마일의 두 가지 측정단위를 적용하여 영국 지도상에 동일한 시도를 해보자. 영국 지도 위에 그린 대강의 측정단위를 보이고 그에 따른 수치적 결과를 보여준다.

신기한 것은 측정단위가 작아짐에 따라 해안선 길이가 점점 길어진다는 것이다. 영국의 해안선은 크고 작은 만, 내해, 작은 강, 복잡한 바위투성이라 매우 불규칙하다. 더 짧은 측정단위를 사용하면 구부러진 지형에 좀 더 정확하게 맞출 수 있어 전체 길이도 증가할 것이다. 더 나아가 1인치 길이의 측정단위를 사용하여 해안선을 측정할 경우, 통과했던 모든 바위의 굴곡의 길이의 합은 전체 해안선 길이를 증가시켜 천문학적인 수치가 나올 것이다.

안성환 ㈜엘림에듀 집필위원