[理知논술/대입 통합교과 논술]수리논술<3>공간도형<자연계>

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 정다면체(regular polyhedron)와 관련된 사뭇 놀라운 성질, 즉 ‘정다면체는 오직 5가지뿐이다’는 사실은 고대 그리스 때부터 알려졌다. 특히 그리스의 철학자 플라톤은 우주의 근본 원료 및 구조에 관한 자신의 철학과 결부시켰기에 흔히 이 5대 정다면체를 ‘플라톤 입체(platonic solid)’라고 부르기도 한다.

5대 정다면체는 정사면체(regular tetrahedron), 정육면체(cube 또는 regular hexahedron), 정팔면체(regular octahedron), 정십이면체(regular dodecahedron), 정이십면체(regular icosahedron)이다.

플라톤은 여기서 더 나아가 “신은 완전하므로 이 세상도 역시 완전한 형상을 가진 입체들로 창조했을 것이다”는 생각을 했고 이에 따라 성질이 사나운 불은 날카로운 정사면체, 가벼운 공기는 정팔면체, 부드러운 물은 정이십면체, 안정한 모습으로 쌓이는 흙은 정육면체의 형상을 가진다고 주장했다. 그리고 남은 정십이면체에 대하여 플라톤은 신이 우주 전체의 형상을 이에 맞추어 배치했다고 덧붙였다.

위 그림은 5대 정다면체의 모습을 보여 준다.

(나) 바닷가에 가면 파도를 막기 위해 설치해 놓은 여러 개의 구조물이 눈길을 끈다. 그 모양은 네 개의 사지가 하나의 중심에서 뻗어 나간 모양으로 이를 ‘테트라포드’라고 부른다. 네 개의 가지 중 세 개가 바닥에 닿아 있기 때문에 우리말로 ‘삼발이’라고 부르기도 한다. 이런 모양의 생활용품은 굉장히 많다. 화판을 받치는 이젤, 측량에서 쓰이는 삼각다리 등이 있다. 또한 메탄(CH₄)의 분자구조도 이런 모양을 닮았다.

이것들을 잘 살펴보면 정사면체의 무게중심과 각 꼭짓점을 네 개의 선분으로 연결한 모양이다. 왜 정사면체일까?

수학적으로 공간을 빈틈없이 채울 수 있는 정다면체는 정사면체와 정육면체이다. 그런데 방파제를 보호하고 파도나 해일을 막아내려면 구조물이 잘 굴러가지 않아야 하고 무게중심이 아래에 있을수록 좋다.

(다) 축구공에 정육각형과 정오각형을 사용한다는 것은 아주 자연스러운 선택입니다. 육각형은 벌집에서도 볼 수 있고 거북의 등에도 나타납니다. 이러한 모양으로 가죽을 자르면 버리는 부분이 가장 작다고 말할 수 있습니다. 정칠각형이나 정팔각형 등은 정육각형보다 둥글기는 하지만, 이들로 평면에 남는 부분이 없이 채울 수는 없습니다. 정육각형은 평면을 채우기에는 적합하지만 정육각형만으로 공 모양을 만들 수는 없습니다. 그 이유는 정육각형을 한 꼭짓점에 세 개 모으면 360° 가 되어 곡면이 생기지 않고 평면이 되기 때문이죠. 그러므로 정육각형에 가까운 정오각형을 사용하는 것이 타당합니다.

공식적인 축구공은 1960년대에 처음 사용되었는데 ‘산티아고’라고 불렀죠. ‘산티아고’는 볼록 팔각형과 오목 팔각형 모양의 가죽을 기워서 만들었는데, 동그란 공이라고 보기에는 조금 문제가 있었습니다. 기하학적으로 말하면, 팔각형만으로는 공 모양을 만들 수 없기 때문입니다. 다각형으로 공 모양을 만들려면 삼각형이나 사각형, 또는 오각형을 반드시 사용하여야 하지요. ‘산티아고’에 가장 가까운 다면체는 정육각형 여덟 개와 정사각형 여섯 개로 만든 ‘깎은 정팔면체’입니다. 아르키메데스 다면체 중에서 공간을 빈틈없이 가득 채울 수 있는 유일한 다면체입니다. 이러한 제품은 많이 만들어도 쌓아두거나 운반하기 쉬운 모양이지요.

현재 축구공의 원형은 1970년 멕시코 대회 때 사용된 텔스타(Telstar)라는 이름의 축구공입니다. 텔스타 모양의 다면체는 고대 그리스의 위대한 학자 아르키메데스가 설명한 다면체에 나타납니다. 아르키메데스는 ‘꼭짓점의 모습이 일정한 다면체’를 연구하였고, 그중 하나가 정이십면체의 꼭짓점 주위를 깎아 만든 ‘깎은 정이십면체’입니다. 정이십면체는 한 꼭짓점에 정삼각형 다섯 개가 모여 있는데, 이 꼭짓점을 깎으면 오각형이 되고, 처음의 삼각형 면은 육각형으로 바뀝니다.…중략…

다면체가 둥근 정도를 어떻게 측정할 수 있는지 생각하여 보기로 합시다.

정육면체는 한 꼭짓점에 정사각형이 세 개 모여 있습니다. 이것을 평면에 펼치면 도형에서는 한 꼭짓점에 90° 가 세 개 모여 있고, 온각인 360°에서 90°가 부족한 각이 나옵니다. 360°―(90°+90°+90°)=90°

이 각도를 외각이라 부릅시다.

다면체에서는 꼭짓점의 외각을 살펴보고 둥근 정도를 말할 수 있습니다. 외각이 작으면 작을수록 둥글다고 할 수 있지요.

유명한 프랑스의 철학자이자 수학자인 데카르트가 조금 놀라운 사실을 발견하였습니다. 정육면체에는 꼭짓점이 여덟 개 있고 따라서 외각을 모두 더하면 8 × 90° = 720°입니다. 데카르트가 발견한 것은 이러한 현상이 모든 볼록 다면체에서 성립한다는 것입니다.

[문제1]정다면체는 오직 5가지뿐임을 논리적으로 설명하시오.

[문제2] ‘테트라포드’의 모양이 정육면체 구조보다 정사면체 구조를 닮는 것이 유용함을 설명하시오.

[문제3]제시문 (다)를 참고하여 깎은 정팔면체와 깎은 정이십면체의 둥근 정도를 비교하고, 이를 이용하여 축구공의 꼭짓점의 개수와 육각형끼리만 만나서 생기는 모서리의 개수를 구하는 과정을 논리적으로 설명하시오

[문제4] 소연이는 축구공을 잘라 그 전개도를 얻고자 한다. 소연이는 정팔면체를 직접 잘라서 그 전개도를 만들기 위해서는 어떤 모양의 전개도를 만들든지 5개의 모서리를 잘라내야 한다는 것을 알게 되었다. 아래 그림은 정팔면체와 그 전개도 중 하나이다. 축구공을 잘라 그 전개도를 얻기 위해서는 몇 개의 모서리(깎은 정이십면체의 모서리)를 잘라야 할 것인지 논리적으로 설명해 보시오.

☞ 해설과 분석, 답안은 이지논술 사이트에 있습니다.