[理知논술/중학 교과원리]수학-과학

■ 수학 - ⑥문자의 힘

예전에는 초등학교 때 배우는 수학 책을 ‘산수’라고 표현했다. 중학교에 올라와 수학을 배우면서 막연히 ‘산수는 쉽고, 수학은 어렵다’는 생각을 하게 되는데 수학이 산수와 다른 점은 문자를 사용한다는 점이다.

이 문자를 통해 우리는 복잡한 문제도 쉽게 해결할 수 있는 키를 쥐게 된다.

가장 간단한 예로 500원 하는 과자를 x개 샀다고 하면 500×x이라고 표현한다. 여기서 과자의 값은 500원으로 고정되어 있지만 과자 값은 변할 수 있으니, 이 여러 가지 수로 변할 수 있는 수를 x라고 하면 과자가 몇 개가 되더라도 그 개수만 ‘대입’하여 모든 경우를 계산할 수 있게 된다.

이런 방법을 이용하면 방정식, 부등식, 함수 등 수학에서 가장 중요한 단원들의 다양한 문제도 쉽게 할 수 있다.

수학으로 수많은 문제를 해결할 수 있다고 말할 수 있는 이유가 바로 이 문자가 가지는 힘이라 풀 수 있는 것이다.

―디오판토스의 묘비

문제를 푸는 데 미지수를 처음으로 도입하여 효과적인 방법을 제시한 사람은 교과서에서도 자주 등장하는 그리스의 수학의 대가, 디오판토스였다.

이 수학자는 미지수를 처음으로 문자화해 ‘어떤 수’라는 말 대신 문자를 사용하였으며, 그 이후 많은 수학자가 기호를 좀 더 간결하고 그 뜻이 명확하게 드러나는 방법들을 연구해 오늘날 사용하는 것과 같은 공식을 만들었다.

디오판토스의 수학에 관한 저서는 유명하지만 안타깝게도 그의 생애는 거의 알려진 것이 없어서 그의 제자들이 남긴 비문을 통해 그가 사망한 당시의 나이를 알 수 있게 되었는데 그 비문은 보통 사람들로서는 풀기 어려운 복잡한 문제로 만들어졌다. 하지만 우리는 문자를 사용해 간단히 식을 유도하는 방법을 배웠으므로 당시 풀기 어려웠던 문제들을 이제는 쉽게 풀어낼 수가 있다.

그 문제를 한번 살펴보도록 하자!

‘이 묘에 디오판토스가 잠드시다.

아아, 위대한 사람이여!

그는 일생의 1/6을 소년으로 지내셨고, 그리고 일생의 1/12이 지난 후에 수염이 자랐고, 그 후 일생의 1/7이 지난 후에 결혼을 하였도다. 결혼 5년 뒤에 아들을 얻었는데, 불행한 아들은 그의 나이의 꼭 반을 살았도다. 그리고 디오판토스는 그 슬픔의 4년 후에 생을 마감했도다.’

이 문제에서 디오판토스가 사망한 당시의 나이를 구하기 위해 그의 나이를 라고 놓으면

그의 일생 6분의 1은 소년이었고 → 1/6× x --- (1)

12분의 1이 지난 후 수염이 자라고 → 1/12× x --- (2)

다시 7분의 1 동안 혼자 살다가 결혼하였고 → 1/7× x- (3)

그리고 5년이 지나 아들을 낳았고 → 5 ---(4)

그의 아들은 아버지 나이의 꼭 반을 살다 죽었으며 → 1/2× x --- (5)

아들이 죽고 난 지 4년 후에 그는 죽었으므로 → 4 -- (6)

조건들을 모두 더하면 디오판토스의 나이가 되므로

x= 1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4

∴ x=84

즉, 디오판토스가 사망할 때의 나이는 84세라는 것을 알 수 있고, 이 나이를 구하면서 우리는 언제가 소년이었는지, 수염은 언제 났는지, 결혼은 몇 살에 했는지 등 복잡해 보였던 문장 속의 답들을 쉽게 얻어낼 수 있다.

서술형, 논술형 문제에서 가장 중요한 부분 중의 하나가 문장으로 구성된 문제를 읽고 식을 세우는 것이다. 식을 세울 수 있는 비법이 바로 x라는 문자 안에 있으니 이 문자에 대입되는 여러 유형을 고려하고 수학 문제에 접근하도록 하자.

강현정 엠베스트 교육㈜ 수학강사

◎ 풀어서 보내요

다음 전래동화를 읽고 동화 속의 떡장수 아주머니가 처음에 가지고 있었던 떡은 몇 개였는지 구하여 보자.

아주 먼 옛날, 떡장수 아주머니가 팔고 남은 떡을 어린 자식들에게 주려고 부지런히 산길을 내려오고 있었습니다. 그런데 첫 번째 고개를 넘을 때 호랑이가 나타나서 말했어요.

“떡 하나 주면 안 잡아먹지.” 무서워진 아주머니는 갖고 있던 떡의 1/5 을 주었습니다.

두 번째 고개를 넘을 때 또 이 호랑이는 나타나서

“떡 하나 주면 안 잡아먹지” 라고 하자 다시 남은 떡의 1/3 을 주었습니다.

잠시 후에도 또 떡을 달라고 하여 남은 떡의 1/2 을 주었더니 떡이 4개가 남았습니다.

○ 글 싣는 순서

⑦생활 속의 방정식 ⑧생활 속의 부등식 ⑨생활 속의 함수1 ⑩생활 속의 함수2 ⑪생활 속의 통계 ⑫생활 속의 기하

■ 과학 - ⑥삼투현상

중학교 2학년 과학의 ‘Ⅳ.식물의 구조 기능’에서 뿌리의 역할을 설명할 때 나오는 삼투현상은 과학에서 매주 중요한 핵심개념이고, 고교 1학년 과학과 고교 2, 3학년에서 배우는 생물Ⅰ, Ⅱ뿐만 아니라 화학 Ⅱ에서도 반복되는 내용이다.

‘삼투현상’은 반투과성 막을 경계로 농도가 낮은 곳에서 농도가 높은 곳으로 물이 이동하는 현상을 말한다. 배추를 소금에 절이면 소금물의 농도가 배추의 농도보다 높기 때문에 물이 소금물 쪽으로 이동해 배추가 절여지는 것을 생각하면 쉽게 이해될 것이다.

그렇다면 반투과성 막은 무엇일까?

셀로판지나 달걀 껍데기 안쪽의 흰 막 같은 생체막이 바로 반투과성 막이다. 식물의 뿌리가 물을 흡수할 때 이 삼투현상의 원리로 물을 흡수한다. 생물은 모두 세포로 구성되어 있고 세포는 모두 세포막으로 둘러싸여 있는데, 이 세포막들이 바로 반투과성 막이다. 식물 내부는 바깥쪽 토양보다 농도가 더 높기 때문에 농도가 높은 안쪽으로 물이 흡수되어 식물들이 살 수 있는 것이다.

집에서 삼투현상을 실험해 보고 싶다면 달걀을 이용하면 좋다. 딱딱한 달걀 껍데기 안쪽의 하얗고 불투명한 막이 바로 반투과성 막이기 때문이다.

일단 식초에 달걀을 넣는다. 그러면 식초가 끓는 것처럼 거품이 나는 것을 볼 수 있다. 이 거품의 성분은 바로 이산화탄소인데, 탄산칼슘이 주성분인 달걀 껍데기가 식초와 같은 산과 반응해 인산화탄소를 내면서 녹게 된다.

더 이상 거품이 나지 않으면 달걀을 꺼내보자. 껍질은 모두 녹아버리고 알맹이는 투명해져서 속의 노른자가 비칠 것이다.

이 달걀로 삼투현상을 실험해 볼 수 있다.

우선 설탕과 물을 1 대 1로 섞어 50% 농도의 설탕물을 만든다. 투명한 컵 2개를 준비해, 컵 한 개에는 일반 물을 담고, 또 다른 컵에는 50% 설탕물을 담은 후 준비한 달걀을 두 컵에 넣는다.

일단 달걀을 넣으면 일반 물에서는 달걀이 가라앉고 설탕물에서는 달걀이 뜨는 것을 볼 수 있을 것이다. 달걀의 밀도가 물보다는 높고 설탕물보다는 낮기 때문이다.

10시간쯤 그대로 두었다가 다시 관찰하면 일반 물에 넣어 둔 달걀은 터질 듯이 부풀어 있고, 설탕물 속에 넣어 둔 달걀을 쪼글쪼글 줄어든 것을 볼 수 있다. 이 상태에서 하루 정도 더 두면 일반 물에 넣어둔 달걀이 폭파하듯 터져버린다.

일반 물에서는 달걀보다 물의 농도가 더 낮으므로 반투과성 막을 통해 달걀 속으로 물이 흡수되어 원래 크기보다 부푼 것이고, 50% 설탕물에서는 반대로 설탕물 농도가 더 높으니 달걀 속 수분이 설탕물로 빠져나와 크기가 줄어든 것이다. 이럴 때 물을 달걀의 농도보다 더 낮은 ‘저장액’, 50% 설탕물을 더 농도가 높은 ‘고장액’이라고 부른다.

지금까지의 달걀실험을 정리해 보자!

달걀실험은 삼투현상뿐만 아니라 탄산칼슘과 산의 화학변화, 밀도의 차이까지 모두 관찰할 수 있는 중요한 실험이라고 할 수 있다. 과학은 교과서를 배우고 익히는 것도 중요하지만 직접 실험을 통한다면 더 쉽고 빠르게 이해할 수 있다. 우리 주변에서 쉽게 구할 수 있는 재료로 다양한 실험을 해보는 습관을 길러보자.

최은정 엠베스트 교육㈜ 과학강사

◎ 풀어서 보내요

오른쪽 그림과 같이 장치하였더니 유리관 속의 물의 높이가 상승하였다. A와 B 중에서 어느 쪽의 농도가 더 높은지 쓰고 물의 높이가 상승하는 이유를 서술하시오.

○ 글 싣는 순서

⑦드라이아이스 이야기 ⑧플라스틱의 종류 ⑨바닷가 이야기(곶과 만) ⑩바닷가 이야기(암석) ⑪여러가지 원소와 이온 이야기 ⑫눈(Eye)에 대하여