[理知논술/중학생 수리 논술]아름다운 건축 ‘주춧돌’은 수학

자연 혹은 우리가 일상적으로 사용하는 물건 속에는 깜짝 놀랄 만한 수학의 원리가 숨어 있다. 우리는 이것들이 우리와 너무 가까이 있는 나머지 오히려 무심코 지나쳐 버리기가 쉽다. 일상생활 속에 살짝 깃들어 있는 수학 원리를 발견할 때, 우리는 마치 깊은 땅 속에 묻힌 보물을 찾아낼 때와 같은 희열을 느낀다.

건축물도 수학의 원리가 숨어 있는 대상 중 하나이다. 사람들이 경이롭게 여기는 건축물인 피라미드와 고대 바빌로니아의 사원, 이것들을 만든 건축가들이 모두 수학자였다는 사실은 그리 놀라운 일이 아니다. 로마시대 건축가들은 건축물에 수학적인 원리를 이용했고, 르네상스 시대 건축가들은 수학의 한 분야인 기하학을 건축설계에 이용한 투시화법으로 뛰어난 건축물을 만들었다.

건축물에 사용되는 황금비 또한 수학적 원리를 이용한 대표적인 경우다. 고대 그리스에선 아름다움과 조화를 이루는 비율을 ‘황금비’라 하여 이를 미술, 공예, 건축 등에 널리 활용하였다. 아름다운 꽃이나 훌륭한 그림, 팔등신 미인, 도자기의 곡선과 가구의 멋진 선, 건축물의 기하학적인 아름다움, 불상의 자연스러운 안정감 속에는 모두 “동서양을 막론하고 아름다움을 느끼게 하는 비율”이라는 황금비가 반영되어 있다.

이렇듯 아름다운 자연, 아름다운 물건은 모두 일정한 비율을 이루고 있다. 무심코 스쳐 지나치기 때문에 잘 모르는 것일 뿐, 우리 주변의 훌륭한 건축물 속에도 황금비의 신비가 내재되어 있을지 모른다.

이탈리아의 유명한 건축가 알베르티는 “건축가는 수학을 배워야만 건축물을 구성하는 기술을 습득할 수 있다”고 말했다. 이렇듯 수학은 건축의 기본이 되어 왔다. 건축물의 어떤 부분에 수학적인 원리가 숨어있는지를 재미난 수학문제를 통해 찾아보자.

김형진 영재사관학원·수학영재만들기 대표 원장

1. 용제는 겨울 방학을 맞이하여 세계 여행을 떠났습니다. 첫 번째 여행지는 영국. 박지성 선수가 뛰고 있는 맨체스터 유나이티드 팀의 경기를 보러 경기장에 갔습니다. 경기가 끝난 후 경기장을 둘러보니 외부는 원 모양을 이루고 동서남북에 각각 문이 한 개씩 있었습니다. 동쪽 문을 나가 북으로 360m 떨어진 곳에 나무가 한 그루 서 있었고, 다시 경기장의 남쪽 문을 나가 서쪽으로 240m를 걸었더니 동북쪽 방면으로 같은 나무가 보이기 시작했습니다. 이 때, 이 경기장의 넓이를 구하시오.

√ 선생님의 도움

① 계획: 문장이 의미하는 내용을 그림으로 나타냅니다.

② 실행: 경기장 외부의 반지름의 길이를 ?라고 하면 다음과 같이 그림을 그릴 수 있습니다.

따라서 피타고라스의 정리에 의해

(χ+240)² + (χ+360)² = (240+360)² 이 성립합니다.

즉, χ² + 600χ - 86400 = 0 → (χ+720)(χ-120) = 0 이므로 χ=120(m)입니다.

따라서 경기장의 반지름의 길이는 120m이고, 경기장의 넓이는

120×120×π = 14400π(m²)입니다.

③ 반성: 경기장의 반지름의 길이가 문제의 조건에 맞는지 검산해 봅니다.

2. 영국에서 이집트로 건너간 용제는 세계 7대 불가사의 중 하나인 피라미드를 관광하였습니다. 피라미드는 밑면의 가로와 세로, 높이의 길이가 모두 같은 정사각뿔 모양입니다. 해가 지려고 하는 늦은 오후였기 때문에 키가 175cm인 용제의 그림자가 5m나 되었습니다. 같은 시각에 피라미드의 그림자의 길이는 대략 250m였습니다. 이 때 피라미드의 높이는 약 몇 m입니까? (단, 반올림하여 일의 자리까지 나타냅니다.)

3. 용제는 이집트에서 피라미드를 관광한 후 다음 여행지인 이탈리아로 갔습니다. 이탈리아의 유명 관광지인 피사의 사탑 앞에 도착한 용제는 다음과 같은 안내문과 함께 보수공사로 인해 사람들의 출입을 통제한다는 말을 들었습니다.

로마네스크 양식의 8층 건축물로서 높이 55.8m, 지름 16m의 흰 대리석으로 마감된 원형의 탑입니다… 1174년에 착공된 이 사탑은 탑을 세우는 도중부터 한쪽 지반이 가라앉아 완공 당시 약 9도 정도 기울어져 실제 높이보다 약간 낮게 세워졌습니다. 그 뒤 탑은 1년에 일정한 각도로 계속 기울어져 왔으며 현재는 약 12도 기울어져 있습니다.

용제는 직접 들어가 볼 수는 없지만 주변에서 탑을 보며 완공 당시보다 현재 탑의 높이가 몇 m 더 낮아졌는지 궁금했습니다. 현재 탑의 높이는 완공 당시보다 얼마나 낮아졌습니까?

(단, sin78°=0.978, sin81°=0.987이고, 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타냅니다.)

4. 피사의 사탑을 구경한 용제는 이탈리아의 다른 관광지 로마를 찾았습니다. 로마의 콜로세움 경기장에 갔더니 때마침 행사를 진행하기 위해 무대를 설치하고 있었습니다. 콜로세움의 반지름은 90m이고, 내부에 경기를 진행하는 곳의 반지름은 50m이므로 중심에서 50m 이상 떨어진 곳에만 좌석을 설치할 수 있습니다. 그림과 같이 경기장의 중심에 불꽃 장치를 설치하고 그곳에서 20m 떨어진 곳의 중앙에 40m 길이의 무대를 설치하였습니다. 불꽃과 무대가 일직선으로 보이는 곳에만 좌석을 설치하려고 할 때, 좌석을 설치할 수 있는 공간의 넓이를 구하시오.

5. 용제는 이탈리아를 떠나 다음 목적지인 미국으로 건너갔습니다. 미국의 금문교를 관광하고 사진을 찍었습니다.

금문교는 다리를 건설할 때 기둥 사이에 주 케이블을 포물선 모양으로 연결하고, 주 케이블에서부터 다리까지 와이어를 기둥과 평행하게 연결함으로써 다리가 주 케이블에 매달려 있는 형태입니다. 용제는 사진을 보고 기둥과 기둥 사이에 사용된 와이어의 길이가 궁금해졌습니다. 여러 가지 자료를 찾아 봤지만 어느 곳에서도 다음과 같은 내용 외에는 찾을 수 없어 직접 와이어의 길이를 계산해 보기로 했습니다.

금문교는 야경으로 유명하며 캘리포니아 주(州) 서안의 샌프란시스코 만(灣)과 태평양을 잇는 골든게이트해협에 설치되어 있는 길이 2825m, 너비 27m의 현수교입니다. 두 기둥의 높이는 해수면으로부터 약 230m이고, 기둥 사이의 거리가 1280m이며, 다리의 높이는 해수면으로부터 약 70m입니다.

다리의 중간 부분에서 주 케이블이 다리와 붙어 있고, 기둥으로부터 40m 간격으로 와이어가 있을 때, 기둥과 기둥 사이에 다리를 매달아 두는 데 사용한 와이어의 전체 길이는 얼마입니까?

6. 여행을 끝내고 서울에 도착해 집으로 가는 길에 창 밖으로 63빌딩과 쌍둥이 빌딩 세 건물이 일직선으로 나란히 있는 모습이 보였습니다. 63빌딩의 그림자가 45층짜리 쌍둥이 빌딩의 25층까지 생겼고, 쌍둥이 빌딩 중 하나의 그림자가 다른 빌딩의 30층까지 생겼습니다. 건물 사이의 거리가 다음 그림과 같을 때, 63빌딩의 높이는 몇 m입니까? (단, 쌍둥이 빌딩의 각 층은 4m입니다.)

[정답]

2=약 106m 3=약 0.5m 4=1400πm²

5=3100m 6=250m

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