기본적인 개념, 원리, 법칙을 토대로 탐구하고 예측하며 논리적으로 추론하는 능력. 이를 수학을 통하여 습득한다는 것은 누구나 알고 있는 사실이다. 나선형 구조를 지닌 수학은 기초적인 지식이 충분히 학습되어야 고등 수학과 추론 능력을 습득할 수 있다. 수학의 궁극적인 목적은 수학적 지식을 바탕으로 문제 해결력, 창의력, 수학적으로 사고하는 성향, 사고의 유연성을 지닌 인간을 육성하는 데 있기 때문이다.
그중 수학적 논리사고력을 중시하는 가장 큰 이유는 급변하고 다양화하는 미래 사회에 적응할 수 있는 힘을 길러 주기 때문이다. 진정한 수학적 힘은 단순 계산 능력이 아니라, 사고력을 바탕으로 주어진 상황을 해결하는 능력에 있는 것이다. 이런 이유로 최근 학생과 학부모 사이에서 ‘수학적 논리사고력’에 대한 관심이 높아지고 있다.
우리나라 교육도 종전의 공식 위주 암기 교육에서 벗어나 사고력 중심 교육의 시대로 접어들었다. 전통적인 학습은 간단한 수학적 사실을 이해하고 활용하는 측면에서 그쳤으나 이제는 수학적 개념, 원리, 법칙을 통해 수학적 지식을 학생 스스로 탐구, 발견하고 창조하는 능력을 기르기를 요구한다.
수학적 논리사고력은 수학적 안목과 논리 정연한 사고가 필요하다. 즉, 사물이나 현상을 수학적으로 관찰하는 능력을 가지고 분석하며 자신의 생각이나 의도를 간결, 명확하게 표현하고 이해하거나 남에게 이해시킬 수 있어야 한다. 또 알고 있거나 발견된 수학적 사실에 대하여 정당성을 부여하여 설명하는 능력이 필요하다.
이러한 능력은 구구단을 외우기 시작하면서 얻어지는 것은 아니지만 수학과 현상에 대한 인내와 관심으로 충분히 얻을 수 있다. 그러기 위해서는 우선 수학적 흥미와 자신감을 가져야 한다. 자기 주도적인 학습과 스스로 탐구하는 능력을 기르는 것도 중요하다.
김형진 영재사관학원·수학영재만들기 대표 원장
1. 장로의 거짓말
‘사후 세계는 있는 것인가?’
한 종교인이 이와 같은 문제로 심각하게 고민하고 있었습니다.
그는 이 문제의 해답을 얻고자 여행을 떠났습니다. 여행 끝에 깊은 산 속의 수도원에서 수행하며 어떤 때는 참말만, 어떤 때는 거짓말만 하는 두 사람의 장로가 답을 알고 있다는 말을 듣고 수도원을 찾아가 장로를 만났습니다.
이 장로들에게 그가 고민하고 있는 문제의 해답을 물었을 때, 첫째 장로는 “나는 거짓말만 하지만 그 질문의 해답은 모른다네”라고 했고, 둘째 장로는 “나는 참말만 하지만 그 질문의 해답은 모른다네”라고 했습니다.
두 장로 중에 그 질문의 대답을 아는 사람이 있다는 것을 알고 있었으므로, 대답을 알고 있는 장로에게 “사후 세계는 없다네”라는 답을 들었습니다. 답을 알고 있는 장로는 누구이며 올바른 답은 어떤 것입니까?
√ 선생님의 도움
① 계획: 두 명의 장로가 참말을 하는 경우와 거짓말을 하는 경우로 나누어 생각해 봅니다.
② 실행:
1) 두 장로 모두 참말을 했다고 가정하면 첫째 장로는 자기 자신을 거짓말쟁이라고 했으므로 가정에 모순이 되고, 둘째 장로는 그 답을 모른다고 했으므로 답을 얻을 수 없습니다.
2) 첫째 장로는 참말을 하고, 둘째 장로는 거짓말을 했다고 가정하면 첫째 장로는 자기 자신을 거짓말쟁이라고 했으므로 가정에 모순이 되고, 거짓말을 한 둘째 장로가 한 말에서 참말만 한다는 말이 거짓말이고, 질문의 해답을 모른다는 말도 거짓말이므로 해답을 아는 것입니다.
3) 첫째 장로는 거짓말을 하고, 둘째 장로는 참말을 했다고 가정하면 첫째 장로는 자기가 거짓말쟁이라고 했으니 가정에 모순이고, 둘째 장로는 그 답을 모른다고 했으므로 답을 얻을 수 없습니다.
4) 두 장로 모두 거짓말을 했다고 가정하면 첫째 장로는 자기가 거짓말쟁이라고 했으니 참말을 한 것이 되어 가정에 모순이고, 둘째 장로는 거짓말만 하므로 그 질문의 해답을 모른다고 했으므로 해답을 아는 것입니다. 종교인이 둘째 장로에게 들은 해답이 ‘사후 세계는 없다네’이고, 거짓말만 하므로 올바른 답은 ‘사후 세계는 있다’는 것입니다.
③ 반성: 풀이 과정 중에 모순이 되는 부분이 있는지를 확인합니다.
2. 예언자의 처형
한 예언자가 젊은이들을 선동했다는 죄목으로 그 나라의 왕 앞에 잡혀 갔습니다. 왕은 예언자를 놀릴 생각으로 다음과 같이 말했습니다.
“나는 내일 너를 처형할 것이다. 넌 예언을 잘 한다고 하니 내일까지 일어날 일에 대하여 무슨 예언이든지 한 가지만 예언해 보아라. 그 예언이 맞으면 너를 반드시 교수형에 처할 것이고, 예언이 틀릴 경우에는 너를 반드시 단두형에 처할 것이다.”
이래도 저래도 죽을 수밖에 없는 처지가 된 예언자는 묘한 예언을 하여 왕이 교수형으로도 단두형으로도 처형할 수 없게 되었다고 합니다. 이 예언자는 어떤 예언을 했습니까?
3. 죄수 석방
어느 나라에서 세 사람의 죄수 A, B, C가 사형선고를 받아 처형할 날이 되었습니다. 이 날은 왕의 생일이라서 왕은 죄수 중에서 머리가 좋은 한 사람을 택하여 살려 주기로 했습니다.
왕은 세 죄수의 눈을 가리고 검은 모자를 각각의 머리에 씌운 후에 가린 것을 벗겨 눈을 떠 보게 했습니다. 죄수들은 다른 사람의 머리에 씌워진 모자는 볼 수 있어도 자기가 쓴 모자는 볼 수가 없었습니다. 왕이 죄수들에게 다음과 같이 말했습니다.
“너희들의 머리에는 검은 모자나 흰 모자가 씌워져 있다. 누구든지 흰 모자 두 개가 보이는 사람이나 자기 머리 위의 모자 색을 아는 사람은 손을 들어보아라. 그 사람은 살려주겠다. 단, 모자의 색을 알아맞힐 때는 그 이유를 설명해야 한다.”
세 명의 죄수가 대답을 못하고 망설이고 있다가 A가 손을 들어 자신의 머리에는 검은 모자가 씌워졌다고 말했습니다. A는 어떻게 검은 모자임을 알게 되었습니까?
4. 스티커 정돈
어느 반도체 회사에 IC 칩과 다이오드가 들어 있는 세 개의 부품상자가 있습니다. ‘I’라는 스티커가 붙어 있는 상자에는 IC 칩만 들어 있고, ‘D’라는 스티커가 붙어 있는 상자에는 다이오드만 들어 있으며, ‘I.D’라는 스티커가 붙어 있는 상자에는 두 가지 부품이 섞여 있습니다. 한 신입사원이 실수로 이 스티커들을 서로 바꾸어 속에 들어 있는 내용과 스티커의 표시가 모두 다르게 만들어 버렸습니다. 이것을 알아차린 사장은 세 상자 중 한 상자에서 부품을 한 개만 꺼내보고 세 가지 스티커를 모두 처음처럼 바로 잡으려고 합니다. 어느 한 상자에서 부품 한 개만 꺼내 보고 세 상자 안에 들어 있는 부품에 맞도록 스티커를 옮겨 붙이는 방법을 설명하시오.
5. 정답지 만들기
맞으면 ○표를 하고, 틀리면 ×표를 하는 시험 문제의 형식을 진위형이라고 합니다. A, B, C 세 사람이 문항당 10점씩 100점 만점의 진위형 시험을 봤는데 그 답안지와 A, B, C 세 사람의 점수가 다음과 같이 나왔습니다. 그런데 정답지를 잃어버려서 더는 채점을 할 수 없었습니다. A, B, C 세 사람의 답과 점수를 참고하여 정답지를 만들어 보시오.
6. 여객차 연결
기관차 A와 여객차 B, C, D, E, F가 그림처럼 철로 위에 놓여 있습니다. 기관차 A가 여객차를 밀거나 끌어당겨서 이 여객차들을 앞에서부터 A, B, C, D, E, F의 순서로 연결하여 북쪽으로 끌고 가려고 합니다. 여객차는 혼자 움직일 수 없고, 기차가 동쪽 선로에서 서쪽 선로로 또는 서쪽 선로에서 동쪽 선로로 가기 위해서는 반드시 남쪽이나 북쪽을 거쳐서 가야 한다면, 어떤 방법으로 연결하면 되겠습니까?
7. 3인조 도둑
어느 건물 8층에 도둑이 들어 금고를 훔쳤습니다. 도둑은 3명이었는데 그들은 도르레와 체중을 교묘히 이용하여 8층에서 1층으로 탈출하는 데 성공했습니다. 도르레의 양쪽에는 바구니가 달려 있어서 양쪽의 무게 차가 10kg이면 무거운 쪽으로 천천히 내려가지만 무게 차가 10kg을 초과하면 급강하하여 사람이 타기에는 위험하다고 합니다. 단, 금고는 한쪽에 올려 급강하시켜도 괜찮다고 합니다. 세 도둑의 체중이 각각 90kg, 50kg, 40kg이고, 금고의 무게는 30kg이라고 합니다. 도르레 양쪽에 달린 바구니에는 한 사람만 탈 수 있다고 할 때, 세 도둑은 어떤 방법으로 8층에서 1층으로 탈출하겠습니까?
[정답]
2=“나는 단두형에 처해질 것입니다.” 3=풀이 참조 4=풀이 참조 5=풀이 참조 6=풀이 참조 7=풀이 참조
▶easynonsul.com 및 수학영재만들기 홈페이지(tamnsu.com)에 풀이 및 동영상 강의