《2008학년도부터 자연계도 통합교과형 논술을 치르는 대학이 늘어난다. 하지만 자연계 학생들은 인문계 학생들에 비해 논술을 더욱 어렵게 느낀다. 더구나 아직 어떤 형식으로 문제가 출제될지도 확실히 모르는 형편이다. 주요 대학의 자연계 논술 예시문항에 맞춰 만든 자연계 통합교과형 논술 실전문제와 풀이과정을 소개한다. 》
▼주요 대학 논술 예시문항 유형에 맞춘 실전문제 및 풀이▼
한 트리에서 나온 최장체인들의 뿌리는 일치하나?
[논제]
[1] 제시문 (다)에서 밑줄 친 문장의 주장에 대하여 그 정당성을 논하시오.
[2] 제시문 (다)에 그려진 구조를 표준형으로 바꾸어 그리고 그것을 제시문 (마)의 방식으로 코드화하시오. 또 이런 코드를 해독하여 거꾸로 표준형 트리를 얻는 과정을 설명하시오.
[3] 제시문 (마)의 방식으로 탄소의 개수가 8이고 최장체인의 길이가 4인 이성질체를 모두 코드화하는 방법을 설명하고 각 코드에 대응하는 표준트리를 그려 보시오.
논제 해설
수학에서 ‘그래프 이론’은 점과 선으로 연결된 도형의 구조와 그 성질을 다루는 분야이다. 이때 점은 서로 구분되는 경우도, 그렇지 않은 경우도 있다. 구분되는 않는 경우의 가능한 모든 구조를 파악하는 것은 구분되는 경우보다 일반적으로 어렵다. 이번 논제에서는 화학에서 다루는 이성질체의 구조를 수리적 관점에서 파악하고 가능한 이성질체를 그려내는 알고리즘을 다룬다. 이 알고리즘의 목적은 이성질체의 구조를 단순화하여 가능한 모든 경우를 빠짐과 중복 없이 효율적으로 그려내는 것이다.
이를 위해 우선 가능한 모든 이성질체를 최장체인의 길이로 일차적으로 분류한다. 그리고 같은 최장체인을 갖는 경우, 최장체인의 뿌리를 그림의 출발지점으로 결정한다. 이것은 구분되지 않는 탄소들을 중심에서부터의 거리를 기준으로 일차적으로 구분하는 것이다. 또한 같은 거리와 같은 뿌리의 점들을 다시 하위 구조의 위계에 따라 배치하는 표준기준을 사전식 배열의 역순(reverse lexicographical order)으로 제시하였다. 이것은 최종적으로 모든 탄소에 트리중심에서의 상대적 위치로 정체성을 부여(identify) 하기 위함이다.
예시 답안
[논제 1] 이성질체의 트리구조는 임의의 두 점을 연결되는 구조이다. 따라서 두 최장체인의 뿌리가 일치하지 않는 경우 두 뿌리를 연결하는 최단경로가 존재한다. 이 경우 한 최장체인의 끝점에서 그 최장체인의 뿌리를 지나 다른 최장체인의 뿌리, 그리고 그 최장체인의 끝점을 연결하는 최단경로를 찾을 수 있다. 이때 이 체인의 길이는 기존의 두 최장체인의 길이보다 크다. 따라서 이 경로는 최장체인보다 길이가 더 긴 경로이므로 모순이다.
[논제 2] 제시문 (라)의 방식으로 (다)에 그려진 트리를 재배치하면 다음의 표준형 구조를 얻는다.
이 구조를 코드화하면 다음과 같은 2행 19열 행렬을 생산할 수 있다.
주어진 행렬을 이용하여 트리를 생성하는 방법은 다음과 같다.
먼저 행렬의 1행에서 쓰여진 수가 최초로 감소하기 바로 전까지를 끊어서 2행의 직계부하수를 고려하여 차례로 점을 위에서 아래로 그린다. 예를 들어 2행에 쓰여진 직계부하수가 3이면 그 점 바로 아래에 점을 3개 찍고 각각의 직계부하로 연결된 선을 긋는다. 행렬의 그 다음부터 다시 1행의 수가 감소하기 바로 전까지를 끊어서 같은 방식으로 점을 1행의 등급수를 고려하여 찍는다. 이런 방식으로 계속하면 코드화된 행렬을 해독하여 원래의 표준형 트리를 생성할 수 있다.
[논제 3] 최장체인의 길이가 4이므로 가능한 등급은 3등급까지이며 1등급에서 갈라진 가지 중 최소 2개의 가지는 3등급까지 이어져야 한다. 또한 탄소의 개수가 8이므로 이런 조건을 고려하여 등급별로 직계부하의 수를 기록하면서 최종적인 탄소개수의 총합이 8이 되도록 해야 한다. 이 조건을 코드화 행렬의 관점에서 해석하면 다음과 같다.
1. 매 등급에 기록이 완료된 후 사용된 탄소의 개수는 행렬의 열의 개수와 일치한다.
2. 1행에 1이 기록된 경우 바로 밑에는 2, 3, 4가 가능하며 1행에 2가 기록된 경우는 바로 밑에 1, 2, 3이 가능하다.
3. 1행에 2가 기록된 바로 밑에 0이 아닌 수가 최소 2번은 나타나야 한다.
이런 기준으로 코드화 행렬을 산출하면 다음의 6가지가 가능하며 이것은 각각 6개의 서로 다른 표준트리와 대응된다.
김상국 이슈&논술 수리논구술 대표