2008 서울대 논술고사 2차 문항 자연계열 예시답안(전문)

※ 아래의 자연계열 예시 답안은 청솔학원 통합논술의 연구팀 - 수리논술팀 송문섭 선생, 김성훈선생, 과학논술팀 유병석 선생(지구과학), 주성문 선생(물리), 윤정식 선생(물리), 허경태 선생(물리), 장성호 선생(생물), 박상현 선생(생물) 등이 함께해서 작성하여 놓은 것이다.

[문항 1] 논제 1. 포물선과 쌍곡선은 모양이 비슷하지만 서로 다른 성질을 갖는 곡선이다. 그 유사점과 차이점에 대하여 설명하시오.

(예시답안) 먼저 포물선과 쌍곡선의 유사점은 첫째, 같은 원뿔을 이용하여 자른 단면에 의하여 파생한 곡선이라는 점, 둘째 식으로 표현할 때 이차방정식 [eqn: Ax^2 +By^2 +Cx +Dy+E=0`]으로 표현할 수 있다는 점이다. 이에 반하여 차이점은 첫째, 원뿔의 밑면과 모선이 이루는 각을 [eqn: theta_1`], 원뿔의 밑면과 원뿔을 자르는 평면이 이루는 각을 [eqn: theta_2`]라 하면 포물선은 [eqn: theta_2 = theta_1`]일 때 평면이 아래, 위의 두 원뿔 중 어느 하나와 만나게 되므로 포물선은 1개의 곡선이고 초점(포물선의 정의상의 정점)이 1개인 데 반하여, 쌍곡선은 [eqn: theta_2 > theta_1`]일 때는 평면이 두 원뿔과 만나게 되므로 쌍곡선은 2개의 곡선으로 되어 있고 초점이 2개라는 점이다. 둘째, 이차방정식 [eqn: Ax^2 +By^2 +Cx +Dy+E=0`]에서 포물선은 [eqn: A =0``,``B neq 0``,``C neq 0`] 또는 [eqn: A neq 0``,``B=0``,``D neq 0``]일 때 포물선의 식이 되고 [eqn: AB<0`]일 때 쌍곡선의 식이 된다. 셋째, 기하학적으로 쌍곡선에는 점근선이 존재하지만 포물선에는 점근선이 없다.

논제 2. 천문관측용 반사망원경 중 하나인 카세그레인식 망원경(Cassegrain's Telescope)은 포물선과 쌍곡선의 반사성질을 이용하여 아래의 그림과 같은 구조로 만들어졌다. 이처럼 포물선과 쌍곡선에서 반사성질이 성립하는 이유를 설명하시오.

(예시답안) 카세그레인식 망원경의 구조는 포물선면 반사경을 주거울로, 쌍곡선면 반사경을 부거울로 구성되어 있다. 이 망원경은 빛을 모으는 포물선면 반사경의 중앙에 작은 구멍을 뚫어 포물선면 반사경으로 모은 빛을 초점의 조금 앞쪽에서 부거울로 포물선면 반사경 방향으로 반사시켜 중앙 구멍에서 밖으로 나간 것을 접안경으로 들여다보는 방식을 가지고 있다. 다음 내용은 주거울의 포물선면 반사경에서와 부거울의 쌍곡선면 반사경에서 빛이 반사되는 원리이다.

<1> 주거울의 포물선면 반사경에서 빛의 반사

아래 그림(가), (나)는 무한히 먼 광원으로부터 x축에 나란하게 들어온 광선이 포물선면 반사경의 초점 F에 모이는 이유를 설명하고 있는 그림이다.

(가)                                              (나)

그림(가)의 사각형 ABCF는 평행사변형이고 BC의 길이와 CF의 길이가 같으므로 대각선 AC는 각 BCF를 이등분한다. 따라서 선분 BC를 x축에 평행하게 연장하였을 때 점 C에서의 법선(점선으로 표시)과 이루는 각([eqn: beta])은 선분 CF와 법선이 이루는 각과 같다.

그러므로 그림 (나)와 같이 x축에 나란하게 입사된 모든 빛은 포물선의 반사경에서 반사하면 반사의 법칙(입사각=반사각)에 의해 초점 F에 모여들게 된다.

빛은 역방향으로도 동일한 경로를 가지므로, 포물선면 반사경으로 만들어진 자동차 전조등에서 나온 광선도 퍼지지 않고 포물선 축에 나란하게 진행하게 된다.

<2> 부거울의 쌍곡선면 반사경에서 빛의 반사

그림 (다)는 무한히 먼 광원으로부터 초점 F를 향해 들어온 광선이 쌍곡선면 반사경에서 반사하여 초점 F에 모이는 이유를 설명하고 있는 그림이다.

(다)

그림(다)에서 쌍곡선 위의 임의의 한 점에서 그은 접선 T의 접점을 두 초점 F, F'와 연결한 선 Q,, R이 이루는 각은 접선 T에 의해 이등분 된다.

따라서 접선 T에 수직하게 세운 법선 N과 선 R, Q가 각각 이루는 각([eqn: b])는 같으므로 무한히 먼 광원으로부터 초점 F를 향해 입사하는 모든 빛은 쌍곡선면의 반사면에서 반사의 법칙(입사각=반사각)에 의해 반대편 초점 F'로 모여들게 된다.

【문항 2】논제 1. 미분법과 적분법이 평면 또는 공간에서 움직이는 물체의 운동에 대해 어떤 정보를 주는지 설명하시오.

(예시답안) 미분은 움직이는 물체에 대한 물리량의 순간적인 변화율을 의미하고 적분은 그 변화의 총량을 의미한다. 따라서, 물체의 속도가 변화하게 될 때 미분은 속도의 순간적인 변화율, 즉, 가속도를 의미하고 적분은 물체의 위치 변화의 총량을 뜻한다. 이런 미적분법을 통해 뉴턴은 갈릴레이가 제창한 타원 궤도의 법칙, 면적-속도 일정의 법칙, 조화의 법칙을 수학적으로 증명하였다.  결국, 미적분은 운동의 기하하적인 의미를 설명할 수 있는 수학적인 기반이 된다.

논제 2. 원 위에서 일정한 속력으로 움직이는 물체의 가속도 방향은 항상 원의 중심을 향한다. 그 이유를 설명하시오.

(예시답안) 원 위에서 움직이는 물체의 속도 방향은 원의 접선 방향이고, 가속도 방향이 원의 중심을 향하게 되면 속도 벡터와 가속도 벡터의 방향이 서로 수직이므로 속도 벡터와 가속도 벡터의 내적은 0이 되어야 합니다. ()

따라서, 원운동하는 물체의 자취를 다음과 같이 표현하면

위치 벡터 =()

위치를 시간에 대해 미분하면 속도가 되므로, 속도 벡터 =()

다시 이를 시간에 대해 미분하면 가속도가 되므로, 가속도 벡터 =()

속도 벡터와 가속도 벡터를 내적하면

=0이므로 속도 벡터와 가속도 벡터의 내적이 0이 되므로 속도의 방향과 가속도의 방향은 수직이 됨을 알 수 있다. 즉, 원운동할 때의 가속도 방향은 속도 방향과는 수직이므로 항상 원의 중심 방향을 향하게 됨을 알 수 있다.

【문항 3】논제 1. 만약 밝기가 일정한 별들이 우주 공간에 균일하게 분포하고 있다면, [eqn: N(<m)]이 어떻게 주어지는가를 생각해보고, 이를 바탕으로 위의 그림에서 관측된 결과에 대해 설명하시오.

(예시답안) 별의 밝기는 한 등급이 커질 때 [eqn: 100^{ 1/5}]배 어두워지고, 거리의 제곱에 반비례하므로 별까지의 거리가 [eqn: 10^{ 1/5}]배 멀어지면 실시등급이 한 등급 커지게 된다. 만약, 별들이 우주에 균일하게 분포되어 있다는 가정 하에서, m등급보다 밝은 별의 총수 N(<m)이 반지름 r인 공간 내에 존재한다면, m+1등급보다 밝은 별의 총 수 N(<m+1)는 반지름이 r×[eqn: 10^{ 1/5}]인 공간 내에 존재하게 된다. 밀도가 같으면 밝은 별들의 개수의 비는 두 별이 차지하는 공간의 부피비가 되므로 [eqn: {N(<m+1)} over {N(<m)} = {(r TIMES 10 ^{1/5} ) ^{3}} over {r ^{3}} =10 ^{3/5}]이다. 즉, 별의 밀도와 밝기가 균일하다고 가정하면 실시 등급 m+1보다 밝은 별의 수가 m등급 보다 밝은 별의 수의 [eqn: 10 ^{3/5}]배가 된다. 위 식의 양변에 로그를 취하면, [eqn: log`N(<m+1)`=`logN(<m)+ {3} over {5}]이 된다. 즉, 가로축을 실시 등급, 세로축을  [eqn: logN(<m)]으로 놓으면, 가로축이 1등급 증가할 때마다 세로축은 [eqn: 3/5]씩 증가하므로 그래프는 직선의 형태가 나타나야 한다. 그런데, 실제 관측 자료에서 직선의 형태가 나타나지 않고 그래프의 기울기가 감소하는 경향을 보여주고 있는 데 이것은 등급이 클수록 즉, 거리가 멀수록 계산에 의해 예측된 값보다 별이 어둡게 관측된다는 것을 의미하고 있다. 등급이 커질수록 그래프의 기울기가 좀 더 감소하고 있는 데, 이것은 거리가 먼 천체일수록 거리가 가까운 천체보다 좀 더 많이 어두워지는 것으로 해석된다.

이것은 우주의 팽창으로 인하여 먼 은하에서 오는 빛이 적색 편이 때문에 희미해지기 때문에 나타나는 현상으로 보여진다. 그리고, 거리가 먼 천체일수록 좀 더 많이 어두워지는 것으로 나타나는 것은, 먼 은하일수록 후퇴 속도가 커 적색 편이가 크게 나타나므로 별빛이 약해지는 현상은 더 커지기 때문에 나타나는 현상이다. 위의 관측 결과는 별의 밝기가 일정하고, 별의 분포가 일정하다는 가정하에서 우주가 팽창하고 있고, 먼 은하일수록 좀 더 빠른 속도로 후퇴하고 있다는 것을 보여주고 있다.

논제 2. 만약 사람의 눈이 지금보다 밝기에 민감하여 1등급과 6등급 별의 밝기의 차이가 100배가 아닌 10배였다면, (나)의 관측 결과는 어떻게 달라졌을지 논술하시오.

(예시답안) 사람의 눈이 좀 더 민감하여 5등급 차이일 때 밝기의 차이가 10배라면 한 등급이 커질 때 별의 밝기는 [eqn: 10^{ 1/5}]배 어두워질 것이다. 이 때 별의 밝기는 거리의 제곱에 반비례하므로 별까지의 거리가 [eqn: 10^{ 1/10}]배 멀어지면 실시등급이 한 등급 커지게 될 것이다. 위 문제와 동일한 가정 하에서, m등급보다 밝은 별의 총수 N(<m)이 반지름이 r인 공간 내에 존재한다면, m+1등급보다 밝은 별의 총 수 N(<m+1)는 반지름이 r×[eqn: 10^{ 1/10}]인 공간 내에 존재하게 된다. 밝은 별들의 개수의 비는 두 별이 차지하는 공간의 부피비가 되므로 [eqn: {N(<m+1)} over {N(<m)} = {(r TIMES 10 ^{1/10} ) ^{3}} over {r ^{3}} =10 ^{3/10}]이다. 즉, 별의 밀도와 밝기가 균일하다고 가정하면 실시 등급 m+1보다 밝은 별의 수가 m등급 보다 밝은 별의 수의 [eqn: 10 ^{3/10}]배가 된다. 위에 주어진 대로 양변에 대수를 취하면, [eqn: log`N(<m+1)`=`logN(<m)+ {3} over {10}]이 되어, 그래프의 기울기가 관측된 자료의 절반이 될 것이다.

【문항 4】논제 1. 에너지(열량) 관점에서 보면 철수가 역기를 100번 드는 데 사용된 운동에너지는 식사 이외에 간식으로 섭취한 에너지의 극히 일부에 지나지 않는다. 그럼에도 불구하고 철수의 체중이 증가하지 않은 이유를 설명하시오.

(예시답안) 일의 여러 방향에서 설명해 본다. 예를 들어 25kg인 역기를 1m 들어 올릴 때의 일의 양이 정말 물리에서 일의 양을 구하는 것처럼 단순하게 계산한 것으로 될지 생각해야 하며, 또한 햄버거를 통해 획득한 500kcal의 열량이 얼마나 근수축에 이용되었는가를 생각해야 할 것이다.   첫 번째로 근육의 에너지소모량과 25kg의 역기가 1m를 100회 상승하는 역학적 에너지가 같은가 하는 것이다. 역기를 들 때의 에너지는 문항 (나)에서 보는 것처럼 6kcal 이지만, 역기를 들었다가  전혀 힘을 주지 않고 중력에 의해서 25kg이나 되는 역기를 내는 사람은 없다. 즉, 역기를 들어 올릴 때 뿐 아니라 내릴 때도 내 생각에는 50%정도의 에너지소모가 있는 것 같다.

두 번째는 우리관절의 골격근 모양을 보면 지렛대의 반대 구조로 되어있는 것을 볼 수 있다. 보통의 지레는 적은 힘으로 무거운 물체를 들어올릴 수 있지만 관절은 받침점에서 힘 점까지의 거리 보다 받침점에서 작용점까지의 거리가 더 멀다. 그러므로 그 거리의 비율 만큼 실제 근육이 하는 일은 더 많은 것이다. 예를 들어 받침점에서 힘점 까지의 거리:받침점에서 작용점까지의 거리가 1:10이라면 6kcal의 일을 할 때 근육이 실제 하는 일은 그 10배에 해당된다.

세 번째는 철수가 섭취한 음식물이 포도당 쥬스가 아니고 햄버거이다. 햄버거는 입으로 씹어야 하고 위의 연동운동과 장의 연동/분절운동이 필요하다. 그런데 이 작용은 모두 근육의 힘이 필요해서 역시 에너지가 필요하고 소화효소를 만들고 분해하는 과정도 에너지가 필요하다. 그래서 식후에 소화에 상당한 에너지가 필요하기 때문에 혈액이 소화기관으로 몰려 식곤증이 오는 것을 알 수 있다.

넷 째, 가장 중요한 에너지의 효율문제이다. 일반적으로 우리 몸에서 ATP에 에너지를 저장하는 효율은 40%정도이다.

호흡: C6H12O6 + 6O2 + 6H2O ---> 6CO2 + 12H2O + 38ATP

연소: C6H12O6 + 6O2         ----> 6CO2 + 6H2O + 688kcal

위의 식에 의하면 포도당 1몰의 열량( 688kcal)중 ATP에 저장된 양은 277.4kcal(38ATP X 7.3 kcal)이므로 섭취한 열량의 약 40%만 생활에 이용한다. 그러므로 햄버거 한 개의 실 이용 열량은 200 kcal( 500kcal X 0.4) 이고 그 중 일부 100kcal가 소화과정에 이용된다고 가정하면, 100kcal이 근 수축에 이용된다. 그리고 첫 번째와 두 번째 논점에서 가정한 것처럼 들어올릴 때 6kcal와 내릴 때 3kcal , 또한 지렛대의 역원리로 10배가 든다면 실제 역기를 들어올릴 때의 근육수축 에너지는 90kcal 이상이다. 그러므로 철수가 총 소모한 에너지량은 거의 500kcal로 햄버거로 획득한 에너지량과 같거나 어쩌면 더 많을 수도 있다. 그래서 철수의 체중이 증가하지 않고 오히려 조금 감소한 것이다.

논제 2. 생물체와 비교하여 낮은 자동차의 에너지 효율을 높일 수 있는 방안에 대하여 논술하시오.

(예시답안) 자동차에서 손실되는 에너지는 기계적 마찰 등에 의한 것보다는 열손실이 가장 크다. 고온에서 엔진이 가동되면 금속으로 이루어진 피스톤, 실린더 등이 변형되고 혼합기(연료+공기)의 점화온도보다 엔진의 온도가 높으면 흡기행정에서 이미 연료가 연소되어버리는 최악의 상태가 발생할 수도 있다. 이런 이유 때문에 자동차 엔진은 냉각수를 순환시켜서 냉각을 시켜 주어야 한다. 연료가 내는 열량은 이렇게 냉각으로 인해서 잃어버리는 열이 너무 많기 때문에 일반적인 내연기관으로는 효율을 높이는데 한계가 있다.

한편, 생명체는 살기 위해 필요한 단백질, 지질, 핵산 등을 간단한 물질로부터 합성하는 데 필요한 에너지가 ATP로부터 충당됩니다. 또한 근육의 수축이나 섬모 운동, 그리고 능동 수송, 전기뱀장어의 전기 발전, 반딧불이의 발광 등에 사용되는 에너지도 ATP로부터 나온다. 반딧불이의 빛은 열이 없는 것처럼 ATP의 분해로 나오는 에너지는 열로 전환되지 않는다.

ATP하나가 ADP로 가수분해될 때 나오는 에너지는 7.3kcal/mol인데 ATP는 38개 만들어지고 포도당 1몰이 내는 에너지가 688kcal/mol인 것을 감안하면 전체 에너지 효율은 약 40%이다. 그러나 내연 기관의 효율은 대략 15%~20%인데 비하면 생명체의 에너지 변환 효율은 매우 높은 편이다.

그 이유는 자동차 내연기관은 고온의 상태에서 에너지 변환이 일어나지만 생명체의 에너지 변환은 여러 효소에 의해 반응이 낮은 온도에서 이루어지기 때문입니다.  따라서 자동차의 에너지 효율을 생명체의 에너지 효율 정도로 높이기 위해서는 현재 주로 사용되는 가솔린 연료를 사용하는 내연기관으로는 개선하여도 불가능해 보인다.

자동차의 에너지 효율을 높이려면 생명체와 같이 상온 수준에서도 에너지 전환이 일어날 수 있는 신개념의 연료나 화학적 메카니즘 그리고 자동차의 새 구조가 요구된다.

【문항 5】논제 1. 포유류 중 인간의 가청 주파수는 약 20Hz부터 20,000Hz 라고 한다. 그런데 코끼리는 인간보다 더 낮은 주파수의 소리를 들을 수 있고, 쥐는 인간보다 더 높은 주파수의 소리를 들을 수 있다고 알려져 있다. 포유류의 귀의 구조가 서로 비슷하고 단지 크기만 다르다고 가정했을 때, 코끼리가 인간보다 낮은 주파수의 소리를, 쥐는 인간보다 높은 주파수의 소리를 들을 수 있는 이유를 설명하시오.

(예시답안) 소리를 인지하는데 귀의 크기는 크게 중요한 요인이 아니다. 코끼리의 귀가 큰 이유는 실질적으로 더 큰 목적이 체온조절에 있기 때문이다. 물론 귀가 크면 소리를 효과적으로 모으는데 역할을 하는 부분이 있긴 하지만 이는 소리의 세기와 관계있는 부분이며, 동물들마다 가청 주파수 영역대가 엄청난 차이를 보이는 것은 귀의 크기와 관계성을 찾기 어렵다.

동물마다 다른 영역대의 주파수를 감지할 수 있는 이유를 크게 두 가지의 가능성으로 얘기해보고자 한다. 첫째는 고막의 특수성을 생각해 볼 수 있다. 소리가 들리는 과정은 음파의 정도에 따라 고막의 진동으로 시작된다. 이 고막의 진동이 청소골로 전해져 난원창을 때리면 달팽이관의 림프에 파동이 유발되어 기저막을 움직이게 되고, 기저막의 진동이 유모세포의 털을 자극하게 되면 털이 구부러지면서 세포에 수용기 전위를 유발하게 되는 것이 대뇌에서 소리를 인식하게 되는 원인이라고 할 수 있다. 즉 고막의 진동이라는 시작이 없으면 소리를 듣는 것은 불가능하다. 때문에 코끼리와 같은 동물의 고막은 낮은 주파수에도 진동을 유발할 수 있는 고막 구조를 가지고 있지 않은가 하는 짐작이 가능하다. 하지만 이것만으로는 높은 주파수의 소리를 못들을 만한 특별한 이유를 제시하는 것은 어렵다.

따라서 결정적인 원인으로 예상되는 두 번째 이유는 동물의 종류에 따라 소리의 주파수(높낮이)에 반응하는 유모세포의 종류와 다양성이다. 사람의 달팽이관 내부의 구조를 보면 고음에 반응하는 유모세포가 있는 위치와 저음에 반응하는 유모세포의 위치가 확연히 구별된다. 주파수의 차이는 기저막의 진동을 다르게 유발시키게 되는데 이 때 기저막의 진동 정도에 따라 자극받는 유모세포가 달라지기 때문에 소리의 높낮이 여부를 인지할 수 있는 것이다. 즉 코끼리는 사람에 비해 낮은 주파수(진동)에도 반응하는 유모세포가 발달되어 있고 쥐는 높은 주파수(진동)에 반응하는 유모세포가 훨씬 다양하게 발달되어 있기 때문에 각각 다른 주파수 영역대의 소리를 듣는 것이 가능하다는 것을 짐작할 수 있다.

논제 2. 서양음악 7음 음계를 피아노로 연주해 보면 중간 도(C) 음과 한 옥타브 위의 도 음은 많이 떨어져 있지만 우리의 귀에 비슷하게 들리고(옥타브 동치성), 도 음과 바로 옆의 레(D) 음은 가까이 있음에도 불구하고 전혀 다르게 느껴지는 데 그 이유를 설명하시오.

(에시답안) 옥타브 동치성 문제를 두 가지 가능성으로 접근해 볼 필요가 있다. 첫째는 소리의 파형 관점에서의 접근이다. 소리를 구별하는 물리량에는 주파수와 세기 외에 파형도 있다. 똑같은 도의 음이라도 피아노 소리인지 바이올린 소리인지 구별할 수 있는 이유가 피아노 소리와 바이올린 소리의 파형이 다르기 때문이다. 사람의 뇌는 여러 가지 파형을 기억하고 있다가 뇌에 저장된 파형과 일치하는 파형이 입력되면 발성체가 무엇인지 또는 누구인지 알게 된다. 그래서 뇌에 저장된 파형과 아주 비슷한 파형이 입력되면 간혹 착각하는 경우도 있는 것이다.

모든 도 음은 비슷하게 들리지만 도 음과 레 음이 다르게 들리는 이유도 모든 도 음은 파형이 서로 비슷하지만 도 음과 레 음은 파형이 다르기 때문이라고 볼 수 있다. 어떤 사람이 여러 옥타브를 넘나들며 노래를 불러도 실제로 들을 때는 같이 사람이라는 걸 알 수 있다. 마찬가지로 중간 도 음과 한 옥타브 위의 도 음은 진동수는 다르지만 파형은 비슷해서 우리 귀에 비슷하게 들리는 것이다.

둘째는 유모 세포와 관련된 접근이다. 하나의 유모 세포를 현악기의 현처럼 생각하면 유모 세포는 정상파를 만든다고 볼 수 있다. 유모 세포는 자신의 고유 진동수와 비슷한 진동수를 갖는 소리를 감지한다고 보면, 하나의 유모 세포는 자신의 기본 진동수의 자연수배(1, 2, 3, 4, ...배)의 소리를 모두 감지할 것이다. 중간 도 음과 한 옥타브 높은 도 음이 어떤 진동수의 자연수 배일 것이므로, 중간 도 음과 한 옥타브 높은 도 음을 같은 유모 세포가 감지할 것이다. 중간 도 음과 한 옥타브 높은 도 음을 같은 유모 세포가 감지하므로 사람은 비슷한 소리로 인식한다.